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?$(1)$?證明：∵四邊形?$ABCD$?是平行四邊形
∴?$AB=CD，$??$AB//CD$?
∵?$AB=AE$?
∴?$AE=CD$?
∴四邊形?$ACDE$?是平行四邊形
∴?$AC//DE$?
∴?$\frac {BG}{GF}=\frac {AB}{AE}= 1$?
∴?$BG=GF $?
?$(2)$?解：∵?$AB=AE$?
∴?$BE=2\ \mathrm {AE}$?
∵?$AC=2\ \mathrm {AB}$?
∴?$BE=AC$?
∵四邊形?$ACDE$?是平行四邊形
∴?$AC=DE$?
∴?$DE=BE$?
∵?$F $?是?$DE$?的中點
∴?$DE=2EF$?
∴?$AE=EF$?
∵?$DE=BE，$??$∠E=∠E，$??$AE=FE$?
∴?$△BEF≌△DEA(\mathrm {SAS})$?
∴?$∠EBF=∠EDA$?
∵?$AC//DE$?
∴?$∠GAH=∠EDA$?
∴?$∠EBF=∠GAH$?
∵?$∠AHG=∠BHA$?
∴?$△AHG∽△BHA$?
∴?$\frac {AH}{BH}= \frac {GH}{AH}$?
∴?$AH^2=GH·BH$?
?$w=\begin{cases}{-x^2+52x+620(1≤x≤30)}\\{-40x+2480(31≤x≤60)}\end{cases}$?
解：?$(2) $?當(dāng)?$1≤x≤30$?時，?$w=-x^2+52x+620=-(x-26)^2+1296$?
∵?$-1< 0$?
∴當(dāng)?$x=26$?時，?$w$?有最大值，最大值為?$1296；$?
當(dāng)?$31≤x≤60$?時，?$w=-40x+2480$?
∵?$-40< 0$?
∴當(dāng)?$x=31$?時，?$w$?有最大值，最大值為?$-40×31+2480=1240$?
∵?$1296> 1240$?
∴該商品在第?$26$?天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是?$1296$?元
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