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第51頁

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證明??$：(1)$??設(shè)正方形邊長為??$4x ，$??
則??$CF= DF= 2x，$????$BE= 3x， CE= x$??
??$AE2=AB2+BE2=16x2+ 9x2= 25x2$??
??$AF2+ EF2= AD2+DF2+FC2+EC2=16x2+4x2+4x2+x2= 25x2$??
所以??$AE2= AF2+ EF2$??
??$(2)$??由??$(1)AE= 5x， AF= 2\sqrt{5}x ， EF=\sqrt{5}x$??
??$AD= 4x，$????$DF= 2x$??
所以??$\frac {AE}{AF}=\frac {AF}{AD}=\frac {EF}{DF}=\frac {\sqrt{5}}{2}$??
所以??$△AEF∽△AFD$??
??$證明：因為DE//BC$??
??$所以\frac {AD}{AB}=\frac {AE}{AC}$??
??$因為EF//DC$??
??$所以\frac {AF}{AD}=\frac {AE}{AC}$??
??$所以\frac {AD}{AB}=\frac {AF}{AD}$??
??$所以AD2= AF×AB$?
?
??$解：存在$??
??$因為正方形ABCD的邊長為4\ \mathrm {cm}$??
??$所以AD=CD=4\ \mathrm {cm}，∠ADC= 90°$??
??$因為DF⊥DE$??
??$所以∠EDF=90°$??
??$所以∠ADE=∠CDF$??
??$①當\frac {AD}{CD}=\frac {DE}{DM}時， △ADE∽△CDM$??
??$因為AD=CD=4\ \mathrm {cm}，DE=3\ \mathrm {cm}$??
??$所以\frac {4}{4}=\frac {3}{DM}$??
??$所以DM= 3\ \mathrm {cm}$??
??$②當\frac {AD}{DM}=\frac {DE}{CD}時，△ADE∽△CDM$??
??$因為AD=CD=4\ \mathrm {cm}，DE= 3\ \mathrm {cm}$??
??$所以\frac {4}{DM}=\frac {3}{4}$??
??$所以DM =\frac {16}{3}\ \mathrm {cm}$??
??$綜上所述，存在點M使得以C、D、M為頂點的三角形與△ADE$??
??$相似，此時DM的長為3\ \mathrm {cm}或\frac {16}{3}\ \mathrm {cm}$??.
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