5. (1)如圖①,每個小方格的邊長是1厘米,求三角形ABC的面積。樂樂想,如果過點A作BC的平行線,把點A移動到某些格點上,使得面積不變,也能求出三角形的面積,方法更巧妙。請你幫樂樂標出移動后點A的位置,三角形ABC的面積是( )平方厘米。
(2)如圖②,把三角形DEF的各邊向外延長1倍后得到三角形ABC,三角形ABC的面積為42平方厘米,三角形DEF的面積是( )平方厘米。
(3)如圖③,從邊長是1厘米的正方形的O點出發(fā),以正方形的對角線為邊長向同一側(cè)連續(xù)畫正方形,如圖。第5個組合圖形的面積是( )平方厘米。
答案：(1)
(標法不唯一) 4 提示:樂樂的做法是依據(jù)兩條平行線之間的距離處處相等，即三角形的底 BC 不動，頂點 A 在平行于線段 BC 的直線上移動，這個頂點無論在哪兒，它到底 BC 的距離都不變，即高不變，因此三角形 ABC 的面積不變。如圖，此時可以通過數(shù)格子得出$A'C = 4$厘米，$A'C$對應(yīng)的高是 2 厘米，面積就是$4×2÷2 = 4$(平方厘米)。
(2)6 提示:先比較三角形 ABD 和三角形 DEF 的面積。這兩個三角形的底邊 AD 和 DF 相等，但是高不相等。如果把 AE 連接起來，如圖所示，
三角形 ADE 與三角形 DEF 等底等高，所以它們的面積相等。注意到 E 是 BD 的中點，所以三角形 ABE 與三角形 ADE 的面積相等，因此三角形 ABD 的面積就是三角形 DEF 的面積的 2 倍。同理，三角形 BCE 和三角形 CAF 的面積都是三角形 DEF 面積的 2 倍，所以三角形 ABC 的面積就是三角形 DEF 面積的$2 + 2 + 2 + 1 = 7$倍，所以三角形 DEF 的面積就是$42÷7 = 6$(平方厘米)。
(3)23.5 提示:把原題圖轉(zhuǎn)化成下圖:
由圖可知，每個圖形都是由若干個三角形組成的，其中三角形①的面積是$1×1÷2 = 0.5$(平方厘米)，三角形②的面積是$0.5×2 = 1$(平方厘米)，三角形③的面積是$1×2 = 2$(平方厘米)，三角形④的面積是$2×2 = 4$(平方厘米)。發(fā)現(xiàn):從三角形①開始，后一個三角形的面積都是前一個三角形面積的 2 倍，每個圖形的最后兩個三角形的面積相等。由此可總結(jié)出所得到的組合圖形的面積規(guī)律，整理成表格如下。
圖形序號 三角形個數(shù) 圖形面積/$cm^{2}$
第 1 個 2 $0.5 + 0.5$
第 2 個 3 $0.5 + 1 + 1$
第 3 個 4 $0.5 + 1 + 2 + 2$
第 4 個 5 $0.5 + 1 + 2 + 4 + 4$
…… …… ……
由此可知，第 5 個組合圖形中含有 6 個三角形，面積是$0.5 + 1 + 2 + 4 + 8 + 8 = 23.5$(平方厘米)。
6. 幾何直觀 如圖,長方形ABCD的面積為100平方厘米。E、F、G分別為AB、BC、CD的中點,H為AD上任意的一點,求涂色部分的面積。
答案：$100÷2÷2 + 100÷2÷2 = 50$(平方厘米) 提示:連接 BH，三角形 BEH 和三角形 GDH 的底都是長方形寬的一半，高的和為長方形的長，因此這兩個三角形的面積和為$100÷2÷2 = 25$(平方厘米)。三角形 BFH 的底是長方形長的一半，高為長方形的寬，因此它的面積為$100÷2÷2 = 25$(平方厘米)，因此涂色部分的面積為$25 + 25 = 50$(平方厘米)。
解析：
連接 BH。
因為 E 是 AB 中點，G 是 CD 中點，設(shè)長方形長為 $ l $，寬為 $ w $，則 $ S_{ABCD}=lw=100 \, \text{cm}^2 $。
$ S_{\triangle BEH} + S_{\triangle GDH} = \frac{1}{2} × \frac{w}{2} × AH + \frac{1}{2} × \frac{w}{2} × HD = \frac{w}{4}(AH + HD) = \frac{w}{4}l = \frac{lw}{4} = \frac{100}{4} = 25 \, \text{cm}^2 $。
因為 F 是 BC 中點，$ S_{\triangle BFH} = \frac{1}{2} × \frac{l}{2} × w = \frac{lw}{4} = \frac{100}{4} = 25 \, \text{cm}^2 $。
涂色部分面積 = $ 25 + 25 = 50 \, \text{cm}^2 $。
答：涂色部分面積為 $ 50 \, \text{平方厘米} $。
7. 應(yīng)用意識 如圖,一臺收割機在一塊平行四邊形田地上收割小麥,甲、乙兩個直角三角形部分已經(jīng)收割完畢,還有多少平方米的小麥需要收割？
答案：$80×60 + 40×120 = 9600$(平方米) $40×80÷2 = 1600$(平方米) $60×120÷2 = 3600$(平方米) $9600 - 1600 - 3600 = 4400$(平方米) 提示:一些不規(guī)則的、分散的幾何圖形可以經(jīng)過分割、移補，拼成一個規(guī)則的幾何圖形，從而求出面積。如圖，
將甲、乙兩個三角形分別平移到①、②的位置，則平行四邊形的面積是兩個長方形面積之和，即$80×60 + 40×120 = 9600$(平方米)，甲三角形的面積為$40×80÷2 = 1600$(平方米)，乙三角形的面積為$60×120÷2 = 3600$(平方米)，未收割部分的面積為$9600 - 1600 - 3600 = 4400$(平方米)。
8. 正方形ABCD的邊長是8厘米,等腰直角三角形EFG的斜邊FG長為26厘米。正方形與三角形放在同一條直線上,如圖,CF= 10厘米。正方形以每秒2厘米的速度向右沿直線BC運動。
(1)當?shù)?秒時,正方形ABCD與三角形EFG重疊部分的面積是( )平方厘米。
(2)第( )秒時,三角形與正方形重疊部分的面積是62平方厘米。
答案：(1)2
(2)12 或 15
提示:
(1)如圖①所示:當?shù)?6 秒時，
正方形向右運動:$2×6 = 12$(厘米)，這時重疊面積為$2×2÷2 = 2$(平方厘米)。
(2)正方形的面積:$8×8 = 64$(平方厘米)，$64 - 62 = 2$(平方厘米)，即三角形與正方形的未重疊部分的面積是 2 平方厘米，分兩種情況。
a.如圖②所示:陰影三角形的面積為 2 平方厘米，此時正方形一共走的路程:$BB_{1}= 8 + 10 + 6 = 24$(厘米)，$24÷2 = 12$(秒)。
b.如圖③所示:陰影三角形的面積為 2 平方厘米，
此時正方形一共走的路程:$CC_{2}= 10 + 26 - 6 = 30$(厘米)，$30÷2 = 15$(秒)。所以第 12 秒和 15 秒時，三角形與正方形的重疊部分面積是 62 平方厘米。
9. 如圖所示,直角梯形ABCD的上底與高相等,正方形DEFH的邊長是6厘米,涂色部分的面積是多少平方厘米？
答案：$6×6÷2 = 18$(平方厘米) 提示:觀察題圖，直角梯形 ADHB 的面積=$(AB + DH)×AD÷2$，直角三角形 ABE 的面積=$AB×(AD + DE)÷2$，因為$AB = AD$，四邊形 DEFH 是正方形，所以直角梯形 ADHB 的面積=直角三角形 ABE 的面積。分別減去兩個圖形重疊的部分梯形 ABOD 的面積，得到三角形 BOH 的面積等于三角形 DOE 的面積，所以涂色部分的面積=三角形 DEH 的面積=正方形 DEFH 的面積÷2。
解析：
因為正方形$DEFH$的邊長是$6$厘米，所以$DE = DH = 6$厘米，$\angle EDH = 90^\circ$。
由題意及圖形關(guān)系可知，涂色部分的面積等于三角形$DEH$的面積。
三角形$DEH$的面積為：$\frac{1}{2} × DE × DH = \frac{1}{2} × 6 × 6 = 18$（平方厘米）。
答：涂色部分的面積是$18$平方厘米。
