例1 循環(huán)小數(shù)$1.100102\dot{0}\dot{3}$,移動循環(huán)節(jié)的第一個圓點,使新的循環(huán)小數(shù)盡可能小,這個新的循環(huán)小數(shù)是(
$1.\dot{1}001020\dot{3}$
);要使這個循環(huán)小數(shù)盡可能大且循環(huán)節(jié)至少是兩個數(shù)字,這個數(shù)是(
$1.10010\dot{2}0\dot{3}$
)。
答案:解析:本題考查的知識點是循環(huán)小數(shù)的認識及循環(huán)節(jié)的特點。
對于第一個問題,要使新的循環(huán)小數(shù)盡可能小,應該讓循環(huán)節(jié)開始的位置盡可能靠后,且循環(huán)節(jié)內(nèi)的數(shù)字盡可能小。
原數(shù)為$1.100102\dot{0}\dot{3}$,
將第一個循環(huán)點移動到1的上方,得到$1.\dot{1}001020\dot{3}$,此時循環(huán)節(jié)為“10010203”,但只需考慮循環(huán)節(jié)開始的最小數(shù)字,即“1”開始循環(huán),這樣得到的循環(huán)小數(shù)盡可能小。
對于第二個問題,要使循環(huán)小數(shù)盡可能大且循環(huán)節(jié)至少是兩個數(shù)字,應該讓循環(huán)節(jié)包含盡可能大的數(shù)字,并且循環(huán)節(jié)開始的位置盡可能靠前。
將第一個循環(huán)點移動到2的上方,得到$1.10010\dot{2}0\dot{3}$,此時循環(huán)節(jié)為“203”,這樣得到的循環(huán)小數(shù)盡可能大。
答案:$1.\dot{1}001020\dot{3}$;$1.10010\dot{2}0\dot{3}$。
1. 在循環(huán)小數(shù)$2.7\dot{6}00\dot{2}$中,移動循環(huán)節(jié)上的前一個循環(huán)點,使新的循環(huán)小數(shù)盡可能小,這個新循環(huán)小數(shù)是多少? 如果要使新的循環(huán)小數(shù)盡可能大,那么新的循環(huán)小數(shù)又是多少?
答案:1. 2.7600˙2˙ 2.˙7600˙2
一個循環(huán)小數(shù)$0.ABAB…$(A、B都是非0自然數(shù)),這個數(shù)的小數(shù)部分前20位上的數(shù)字和是80,這個循環(huán)小數(shù)最大是(
$0.\overline{71}$
),最小是(
$0.\overline{17}$
)。
答案:解析:
題目考查了循環(huán)小數(shù)的概念和性質(zhì),以及如何通過給定的條件求解循環(huán)小數(shù)的最大和最小值。
首先,知道這個循環(huán)小數(shù)$0.ABAB\ldots$的循環(huán)節(jié)是$AB$,且前20位上的數(shù)字和是80。由于循環(huán)節(jié)有2位數(shù)字,所以前20位中包含10個完整的循環(huán)節(jié)。因此,可以求出一個循環(huán)節(jié)(即A和B)的數(shù)字和:
$A + B = 80 ÷ 10 = 8$,
接下來,需要找到滿足$A + B = 8$且$A$、$B$都是非0自然數(shù)的所有可能組合,并確定這些組合中哪個使得循環(huán)小數(shù)最大,哪個使得循環(huán)小數(shù)最小。
為了使循環(huán)小數(shù)最大,應該讓A盡可能大,即讓A取7(因為A和B都不能為0,且它們的和為8,所以A的最大值為7),此時B為1。
為了使循環(huán)小數(shù)最小,應該讓A盡可能小,但由于A不能為0,所以A的最小值為1,此時B為7(因為$A+B=8$)。但需要注意,由于循環(huán)節(jié)是$AB$,所以當A為1,B為7時,實際上循環(huán)小數(shù)的前幾位是0.17,而我們需要的是循環(huán)部分開始就盡可能小,但考慮到循環(huán)節(jié)的順序,最小循環(huán)小數(shù)應為0.1717...而不是0.71...開始(因為后者不是由最小的循環(huán)節(jié)開始的)。然而,由于我們是在比較循環(huán)節(jié)本身的大小,所以只需考慮循環(huán)節(jié)AB的大小,即最小循環(huán)節(jié)為17(在A為非0自然數(shù)的條件下)。但按照循環(huán)小數(shù)的表示方法,我們會寫成$0.1\overline{71}$ 的簡化形式$0.1717\ldots$來表示這個循環(huán)小數(shù)是最小的,這里的比較是基于循環(huán)節(jié)數(shù)值的大小,而不是小數(shù)整體的大小,但在本題語境下,我們直接通過循環(huán)節(jié)來判斷循環(huán)小數(shù)的大小。
所以,這個循環(huán)小數(shù)最大是$0.\overline{71}$(或?qū)懽?0.7171\ldots$),最小是$0.\overline{17}$(或?qū)懽?0.1717\ldots$)。
答案:$0.\overline{71}$;$0.\overline{17}$。
2. 一個循環(huán)小數(shù)$0.CDCDCD…$(C、D都是非0自然數(shù)),如果這個數(shù)的小數(shù)部分前20位上的數(shù)字和是100,那么這個循環(huán)小數(shù)最大是多少? 最小是多少?
答案:2. 0.9191… 0.1919… 【提示】這是一個循環(huán)小數(shù),十分位上是C,百分位上是D,從十分位開始,以一個C和一個D兩個字母為一組,按照CDCD-CD的規(guī)律這樣循環(huán)下去,那么前20位就有10組CD。因此,可以求出一組C與D的和,即C+D=100÷10=10。根據(jù)和為10的兩個數(shù)組合推出這個循環(huán)小數(shù)最大和最小分別是多少。注意C、D都是非0自然數(shù)。
解析:
這個循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)是CD,每2位一循環(huán)。
前20位包含的循環(huán)節(jié)組數(shù)為:20÷2=10(組)
因為前20位數(shù)字和是100,所以一組CD的數(shù)字和為:100÷10=10,即C+D=10。
C、D都是非0自然數(shù),要使循環(huán)小數(shù)最大,應使C盡可能大,D盡可能小,所以C=9,D=1,這個循環(huán)小數(shù)最大是0.9191…;要使循環(huán)小數(shù)最小,應使C盡可能小,D盡可能大,所以C=1,D=9,這個循環(huán)小數(shù)最小是0.1919…。
最大:0.9191…;最?。?.1919…