例 從樓下走過(guò)一些臺(tái)階到樓上,規(guī)定每一步只能跨1級(jí)或2級(jí)臺(tái)階。從樓下到樓上共10級(jí)臺(tái)階,有多少種不同的走法?
解析
只有1級(jí)臺(tái)階有1種走法;只有2級(jí)臺(tái)階有2種走法;只有3級(jí)臺(tái)階有3種走法;只有4級(jí)臺(tái)階有5種走法(邁第1步時(shí)可跨1級(jí),也可跨2級(jí),即分成兩類:第1步跨1級(jí)還剩3級(jí),上面已知3級(jí)臺(tái)階有3種走法;第1步跨2級(jí)還剩2級(jí),上面已知2級(jí)臺(tái)階有2種走法,所以4級(jí)臺(tái)階共有3+2= 5(種)走法)。其遞推公式為每一項(xiàng)(大于2)等于前兩項(xiàng)的和,規(guī)律為:
答案：有89種不同的走法。
答案：解析：
本題可通過(guò)分析前幾級(jí)臺(tái)階的走法數(shù)量，找出其規(guī)律，進(jìn)而得出$10$級(jí)臺(tái)階的不同走法數(shù)量。
已知只有$1$級(jí)臺(tái)階時(shí)，有$1$種走法；只有$2$級(jí)臺(tái)階時(shí)，有$2$種走法；只有$3$級(jí)臺(tái)階時(shí)，走第$1$步可跨$1$級(jí)，也可跨$2$級(jí)。若第$1$步跨$1$級(jí)，還剩$2$級(jí)，$2$級(jí)臺(tái)階有$2$種走法；若第$1$步跨$2$級(jí)，還剩$1$級(jí)，$1$級(jí)臺(tái)階有$1$種走法，所以$3$級(jí)臺(tái)階共有$1 + 2 = 3$（種）走法。同理，$4$級(jí)臺(tái)階時(shí)，第$1$步跨$1$級(jí)，還剩$3$級(jí)，$3$級(jí)臺(tái)階有$3$種走法；第$1$步跨$2$級(jí)，還剩$2$級(jí)，$2$級(jí)臺(tái)階有$2$種走法，所以$4$級(jí)臺(tái)階共有$3 + 2 = 5$（種）走法。
由此可歸納出遞推公式：每一項(xiàng)（大于$2$）等于前兩項(xiàng)的和，即$a_{n}=a_{n - 1}+a_{n - 2}$（$n\geq3$，$a_{n}$表示$n$級(jí)臺(tái)階的走法數(shù)量）。
根據(jù)此規(guī)律依次計(jì)算可得：
$5$級(jí)臺(tái)階的走法有$5 + 3 = 8$（種）；
$6$級(jí)臺(tái)階的走法有$8 + 5 = 13$（種）；
$7$級(jí)臺(tái)階的走法有$13 + 8 = 21$（種）；
$8$級(jí)臺(tái)階的走法有$21 + 13 = 34$（種）；
$9$級(jí)臺(tái)階的走法有$34 + 21 = 55$（種）；
$10$級(jí)臺(tái)階的走法有$55 + 34 = 89$（種）。
答案：有$89$種不同的走法。
1. 實(shí)驗(yàn)小學(xué)大劇場(chǎng)門前共有5級(jí)臺(tái)階,規(guī)定一步只能走一級(jí)或兩級(jí),那么走過(guò)這些臺(tái)階一共有多少種不同的方法?
答案：1+4+3=8(種)
【提示】用數(shù)組表示不同的走法：(1,1,1,1,1)表示每步只走一級(jí)，有1種方法；(2,1,1,1)、(1,2,1,1)、(1,1,2,1)、(1,1,1,2)表示有一步走兩級(jí)臺(tái)階，其他幾步都走一級(jí)臺(tái)階，有4種方法；(2,2,1)、(1,2,2)、(2,1,2)表示有兩步各走兩級(jí)臺(tái)階，有一步走一級(jí)臺(tái)階，有3種方法。因此，走過(guò)這些臺(tái)階一共有8種不同的方法。
2. 三位數(shù)中,恰好有兩個(gè)數(shù)字相同的數(shù)一共有多少個(gè)?
答案：9×9+9×9+(9+8×9)=243(個(gè))
【提示】根據(jù)題意，符合要求的數(shù)可以先分成三類：百位和十位相同；百位和個(gè)位相同；十位和個(gè)位相同。百位和十位是“11”的有9個(gè)：110,112,113,…,119，同樣地，百位和十位是“22”的有9個(gè)，…，百位和十位是“99”的有9個(gè)；百位和個(gè)位是“11”的有9個(gè)，同樣地，百位和個(gè)位是“22”的有9個(gè)，…，百位和個(gè)位是“99”的有9個(gè)；十位和個(gè)位是“00”的有9個(gè)，十位和個(gè)位是“11”的有8個(gè)，同樣地，十位和個(gè)位是“22”的有8個(gè)，…，十位和個(gè)位是“99”的有8個(gè)。因此三位數(shù)中，恰好有兩個(gè)數(shù)字相同的數(shù)一共有9×9+9×9+(9+8×9)=243(個(gè))。
3. 1995的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和是1+9+9+5= 24。那么,在小于2000的四位數(shù)中各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和等于24的數(shù)共有多少個(gè)?
答案：1+2+3+4+5=15(個(gè))
【提示】小于2000的四位數(shù)，千位數(shù)字是1，要使數(shù)字和為24，只需其余三位數(shù)字的和是23。因?yàn)槭?、個(gè)位數(shù)字的和最多為9+9=18，因此，百位數(shù)字至少是5。，分類如下：①百位為5時(shí)，有1599一個(gè)；②百位為6時(shí)，有1689、1698兩個(gè)；③百位為7時(shí)，有1779、1788、1797三個(gè)；④百位為8時(shí)，有1869、1878、1887、1896四個(gè)；⑤百位為9時(shí)，有1959、1968、1977、1986、1995五個(gè)。因此小于2000的四位數(shù)中各位數(shù)字和等于24的數(shù)共有1+2+3+4+5=15(個(gè))。
4. 一位農(nóng)民1月份買了一對(duì)剛出生的小兔,1個(gè)月后,這對(duì)小兔長(zhǎng)成了大兔;1個(gè)月后,又生下一對(duì)小兔。照這樣下去,12月份,他家一共有多少只兔子?
答案：兔子對(duì)數(shù)規(guī)律為1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144。所以，12月份(即11個(gè)月后)就變成了144對(duì)兔子，共144×2=288(只)。
【提示】初始是1對(duì)小兔，1個(gè)月后是1對(duì)大兔，2個(gè)月后是1對(duì)大兔+1對(duì)小兔；3個(gè)月后是2對(duì)大兔+1對(duì)小兔；4個(gè)月后是3對(duì)大兔+2對(duì)小兔……兔子每個(gè)月的對(duì)數(shù)為1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144。所以12月份(即11個(gè)月后)就變成了144對(duì)兔子，共144×2=288(只)。
5. 小悅買了10塊巧克力,她每天最少吃一塊,最多吃3塊,直到吃完,共有多少種吃法?
答案：274種 【提示】遞推法。吃1塊只有1種吃法；吃2塊有1+1和2兩種吃法；吃3塊有1+1+1，1+2，2+1，3共4種吃法；吃4塊有1+1+1+1，1+1+2，1+2+1，2+1+1，2+2，1+3，3+1共7種吃法；吃5塊有2+4+7=13(種)吃法；吃6塊有4+7+13=24(種)吃法……依照這一規(guī)律，列表寫出吃各塊(1～10塊)時(shí)的吃法數(shù)如下。最后遞推得到吃10塊巧克力有274種吃法。
塊數(shù) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
吃法 1 2 4 7 13 24 44 81 149 274
