3. 聰聰對(duì)下面的問(wèn)題進(jìn)行了深入的研究,他的研究過(guò)程如下：
【問(wèn)題再現(xiàn)】
(1)如圖①,在$△ABC$中,$∠ABC,∠ACB$的平分線交于點(diǎn)P,$∠A= 40^{\circ }$,則$∠BPC$的度數(shù)是____；
【問(wèn)題解決】
(2)如圖②,在$△ABC$中,$∠ABC,∠ACB$的平分線交于點(diǎn)P,將$△ABC$沿DE折疊使得點(diǎn)A與點(diǎn)P重合,若$∠1+∠2= 100^{\circ }$,求$∠BPC$的度數(shù)；
【問(wèn)題推廣】
(3)如圖③,在$△ABC$中,$∠BAC的平分線與△ABC的外角∠CBM$的平分線交于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)B作$BH⊥AP$于點(diǎn)H,若$∠ACB= 82^{\circ }$,求$∠PBH$的度數(shù)；
【拓展提升】
(4)如圖④,在四邊形BCDE中,$EB// CD$,點(diǎn)F在射線DE上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)F不與E,D兩點(diǎn)重合),連接BF,CF,$∠EBF,∠DCF$的平分線交于點(diǎn)Q,若$∠EBF= α,∠DCF= β$,直接寫出$∠Q$和α,β之間的數(shù)量關(guān)系.
答案：3.(1)110° 點(diǎn)撥:∵∠A=40°,
∴∠ABC+∠ACB=180°?∠A=140°.
∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,
∴∠ABC=2∠PBC,∠ACB=2∠PCB,
∴2∠PBC+2∠PCB=140°,即∠PBC+∠PCB=70°,
∴∠P=180°?∠PBC?∠PCB=110°.
(2)解:由折疊的性質(zhì)可得∠AED=∠PED,∠ADE=∠PDE;
∵∠1+∠AEP=180°,∠2+∠ADP=180°,∠1+∠2=100°,∴2∠AED+2∠ADE=260°,
∴∠AED+∠ADE=130°,
∴∠A=180°?∠AED?∠ADE=50°,
∵∠A=50°,
∴∠ABC+∠ACB=180°?∠A=130°.
∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,
∴∠ABC=2∠PBC,∠ACB=2∠PCB,
∴2∠PBC+2∠PCB=130°,即∠PBC+∠PCB=65°,
∴∠BPC=180°?∠PBC?∠PCB=115°.
(3)解:∵AP平分∠BAC,BP平分∠CBM,
∴∠BAC=2∠BAP,∠CBM=2∠CBP.
∵∠CBM=∠BAC+∠ACB,
∴∠CBP=∠BAP+41°,
∵∠ABC=180°?∠ACB?∠BAC,
∴∠ABC=98°?2∠BAP.
∵∠ABC+∠CBP+∠BAP+∠P=180°,
∴∠P=180°?∠BAP?∠ABC?∠CBP=41°.
∵BH⊥AP,∴∠BHP=90°,
∴∠PBH=180°?∠P?∠BHP=49°.
(4)解:當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)E的左側(cè)時(shí)，如答圖①所示.
∵EB//CD,∴∠CBE+∠BCD=180°.
∵BQ平分∠EBF,CQ平分∠DCF,
∴∠EBQ=$\frac{1}{2}$∠EBF=$\frac{\alpha}{2}$,∠QCF=$\frac{1}{2}$∠DCF=$\frac{\beta}{2}$,
∴∠Q=180°?∠QBC?∠QCB=180°?∠QBE?∠EBC?∠FCB?∠QCF=$\frac{\beta - \alpha}{2}$.
當(dāng)點(diǎn)F在D,E兩點(diǎn)之間時(shí)，如答圖②所示.
同理,可得∠FBQ=$\frac{1}{2}$∠EBF=$\frac{\alpha}{2}$,∠QCF=$\frac{1}{2}$∠DCF =$\frac{\beta}{2}$,
∠FBC+∠FCB=180°?∠DCF?∠EBF=180°?α?β,
∴∠Q=180°?∠QBC?∠QCB=180°?∠QBF?∠FBC?∠FCB?∠QCF=$\frac{\alpha + \beta}{2}$.
綜上所述,∠Q=$\frac{\alpha + \beta}{2}$或∠Q=$\frac{\beta - \alpha}{2}$.
