2. (2024春·房山區(qū)期末)在平面內,對于$\angle P和\angle Q$,給出如下定義:若存在一個常數$t(t＞0)$,使得$\angle P + t\angle Q = 180^{\circ}$,則稱$\angle Q是\angle P$的“$t$系數補角”.例如,$\angle P = 80^{\circ}$,$\angle Q = 20^{\circ}$,有$\angle P + 5\angle Q = 180^{\circ}$,則$\angle Q是\angle P$的“5系數補角”.
(1)若$\angle P = 90^{\circ}$,在$\angle 1 = 60^{\circ}$,$\angle 2 = 45^{\circ}$,$\angle 3 = 30^{\circ}$中,$\angle P$的“3系數補角”是____.
(2)在平面內,$AB// CD$,$E為直線AB$上一點,$F為直線CD$上一點.
①如圖①,$G$為平面內一點,連接$GE$,$GF$,$\angle DFG = 50^{\circ}$,若$\angle BEG是\angle EGF$的“6系數補角”,求$\angle BEG$的大小;
②如圖②,連接$EF$.若$H$為平面內一動點(點$H不在直線AB$,$CD$,$EF$上),$\angle EFH與\angle FEH兩個角的平分線交于點M$.若$\angle BEH = \alpha$,$\angle DFH = \beta$,$\angle N是\angle EMF$的“2系數補角”,寫出$\angle N$大小的所有情況(用含$\alpha和\beta$的代數式表示),并寫出求解過程.
答案：2. (1)∠3=30° 點撥:設∠P的“3系數補角”是x.
∵∠P=90°,∴∠P+3x=180°,
即90°+3x=180°,解得x=30°,
∴∠P的“3系數補角”是∠3=30°.
(2)解:①設∠BEG=m,∠EGF=n.
如答圖①,設AB與GF相交于點H.
∵AB//CD,∠DFG=50°,
∴∠BHG=∠DFG=50°,
∴∠BEG+∠EGF=∠BHG=50°,即m+n=50°.?、?br> ∵∠BEG是∠EGF的“6系數補角”，
∴∠EGF+6∠BEG=180°,即n+6m=180°.?、?br> 聯(lián)立①②得$\begin{cases}m + n = 50^{\circ}\\n + 6m = 180^{\circ}\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = 26^{\circ}\\n = 24^{\circ}\end{cases}$，
即∠BEG的大小是26°.
?、凇摺螻是∠EMF的“2系數補角”，
∴∠EMF+2∠N=180°,∴∠N=90°?$\frac{1}{2}$∠EMF;
如答圖②,∵∠EFH與∠FEH兩個角的平分線交于點M ∴∠MEF=$\frac{1}{2}$∠HEF,∠MFE=$\frac{1}{2}$∠HFE;
∵∠EMF=180°?∠MEF?∠MFE
=180°?$\frac{1}{2}$(∠HEF+∠HFE)
=180°?$\frac{1}{2}$(180°?∠EHF)
=90°+$\frac{1}{2}$∠EHF;
過點H作HG//AB.
∵AB//CD,∴AB//CD//HG,
則∠EHG=∠AEH=180°?∠BEH=180°?α,
∠FHG=∠CFH=180°?∠DFH=180°?β,
∴∠EMF=90°+$\frac{1}{2}$∠EHF=90°+$\frac{1}{2}$(∠EHG+∠FHG)=90°+$\frac{1}{2}$(180°?α+180°?β)=270°?$\frac{1}{2}$(α+β),
∴∠N=90°?$\frac{1}{2}$∠EMF
=90°?$\frac{1}{2}$[270°?$\frac{1}{2}$(α+β)]
=$\frac{1}{4}$(α+β)?45°;
如答圖③,
同理可得,∠EMF=90°+$\frac{1}{2}$∠EHF=90°+$\frac{1}{2}$(α+β),
∴∠N=90°?$\frac{1}{2}$∠EMF=90°?$\frac{1}{2}$[90°+$\frac{1}{2}$(α+β)]=45°?$\frac{1}{4}$(α+β);
如答圖④,
∵AB//CD,∴∠1=∠DFH=β,
∴∠H=∠1?∠BEH=β?α,
∴∠EMF=90°+$\frac{1}{2}$∠EHF=90°+$\frac{1}{2}$(β?α),
∴∠N=90°?$\frac{1}{2}$∠EMF=90°?$\frac{1}{2}$[90°+$\frac{1}{2}$(β?α)]=45°?$\frac{1}{4}$(β?α);
如答圖⑤,
同理可得,∠EMF=90°+$\frac{1}{2}$∠EHF=90°+$\frac{1}{2}$(α?β),
∴∠N=90°?$\frac{1}{2}$∠EMF=90°?$\frac{1}{2}$[90°+$\frac{1}{2}$(α?β)]=45°?$\frac{1}{4}$(α?β);
如答圖⑥,
同理可得,∠EMF=90°+$\frac{1}{2}$∠EHF=90°+$\frac{1}{2}$(α?β),
∴∠N=90°?$\frac{1}{2}$∠EMF=90°?$\frac{1}{2}$[90°+$\frac{1}{2}$(α?β)]=45°?$\frac{1}{4}$(α?β);
如答圖⑦,
同理可得,∠EMF=90°+$\frac{1}{2}$∠EHF=90°+$\frac{1}{2}$(β?α),
∴∠N=90°?$\frac{1}{2}$∠EMF=90°?$\frac{1}{2}$[90°+$\frac{1}{2}$(β?α)]=45°?$\frac{1}{4}$(β?α).
綜上可知，∠N的大小為$\frac{1}{4}$(α+β)?45°或45°?$\frac{1}{4}$(α+β)或45°?$\frac{1}{4}$(α?β)或45°?$\frac{1}{4}$(β?α).
