2. (2024春·天寧區(qū)期中)閱讀下列材料并解答問題：
在一個(gè)三角形中,如果一個(gè)內(nèi)角$\alpha$的度數(shù)是另一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的3倍,那么這樣的三角形我們稱為“優(yōu)雅三角形”,其中$\alpha$稱為“優(yōu)雅角”。例如,一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是$30^{\circ}$,$90^{\circ}$,$60^{\circ}$,這個(gè)三角形就是“優(yōu)雅三角形”,其中“優(yōu)雅角”為$90^{\circ}$。反之,若一個(gè)三角形是“優(yōu)雅三角形”,那么這個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角中一定有一個(gè)內(nèi)角$\alpha$的度數(shù)是另一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的3倍。
(1)一個(gè)“優(yōu)雅三角形”的一個(gè)內(nèi)角為$120^{\circ}$,若“優(yōu)雅角”為銳角,則這個(gè)“優(yōu)雅角”的度數(shù)為______
45°
。
(2)如圖①,已知$\angle MON= 60^{\circ}$,在射線$OM上取一點(diǎn)A$,過點(diǎn)$A作AB\perp OM交ON于點(diǎn)B$,以$A為端點(diǎn)畫射線交線段OB于點(diǎn)C$(點(diǎn)$C不與點(diǎn)O$,$B$重合)。若$\triangle AOC$是“優(yōu)雅三角形”,求$\angle ACB$的度數(shù)。
解：∵AB⊥OM，∴∠OAB=90°．
∵∠MON=60°，△AOC是“優(yōu)雅三角形”，分兩種情況：
①若∠MON=60°為“優(yōu)雅角”，則另一角為20°，∠ACO=180°-60°-20°=100°，∴∠ACB=180°-100°=80°；
②若∠OAC和∠ACO中有“優(yōu)雅角”，兩角和為180°-60°=120°，則兩角為30°和90°．
若∠ACO=90°，則∠ACB=90°；
若∠ACO=30°，點(diǎn)C與B重合（舍）．
綜上，∠ACB=80°或90°．
(3)如圖②,在$\triangle ABC$中,點(diǎn)$D在邊BC$上,$DE平分\angle ADB交AB于點(diǎn)E$,$F為線段AD$上一點(diǎn),且$\angle AFE+\angle ADC= 180^{\circ}$,$\angle FED= \angle C$。若$\triangle ADC$是“優(yōu)雅三角形”,求$\angle C$的度數(shù)。
解：∵∠AFE+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADB=180°，∴∠AFE=∠ADB，∴EF//BC，∠FED=∠BDE．
∵∠FED=∠C，∴∠BDE=∠C．
∵DE平分∠ADB，∴∠ADB=2∠BDE=2∠C．
△ADC是“優(yōu)雅三角形”，∠ADB=2∠C，∠ADC=180°-2∠C，分情況：
①∠C=3∠ADC：設(shè)∠ADC=x，則∠C=3x，2∠C=180°-x，即6x=180°-x，x=$\frac {180°}{7}$，∠C=$\frac {540°}{7}$；
②∠C=3∠DAC：設(shè)∠DAC=x，∠C=3x，∠ADC=180°-4x，2∠C=180°-∠ADC，即6x=4x，x=0（舍）；
③∠ADC=3∠C：設(shè)∠C=x，∠ADC=3x，2x=180°-3x，x=36°；
④∠ADC=3∠DAC：設(shè)∠DAC=x，∠ADC=3x，∠C=180°-4x，2∠C=180°-∠ADC，即2(180°-4x)=180°-3x，x=36°，∠C=36°；
⑤∠DAC=3∠ADC：設(shè)∠ADC=x，∠DAC=3x，∠C=180°-4x，2∠C=180°-x，即2(180°-4x)=180°-x，x=$\frac {180°}{7}$，∠C=$\frac {540°}{7}$；
⑥∠DAC=3∠C：設(shè)∠C=x，∠DAC=3x，∠ADC=180°-4x，2x=4x，x=0（舍）．
綜上，∠C=36°或$\frac {540°}{7}$．
