1. 已知實(shí)數(shù)$a,b滿足a^{2}+b^{2}= 3+ab$,則$(2a - 3b)^{2}+(a + 2b)(a - 2b)$的最大值為
22
。
答案：22 點(diǎn)撥：$\because a^{2}+b^{2}=3+ab,$
$\therefore (2a-3b)^{2}+(a+2b)(a-2b)$
$=4a^{2}+9b^{2}-12ab+a^{2}-4b^{2}$
$=5a^{2}+5b^{2}-12ab$
$=5(a^{2}+b^{2})-12ab$
$=15+5ab-12ab$
$=15-7ab,$
$\because a^{2}+b^{2}=3+ab,\therefore (a+b)^{2}=3+3ab,$
$\therefore ab=\frac {1}{3}(a+b)^{2}-1,\therefore ab$的最小值為-1，
$\therefore -7ab$的最大值為 7，
$\therefore (2a-3b)^{2}+(a+2b)(a-2b)$的最大值為 22.
2. 已知$m - n = 4,mn = - 3$,求$(m^{2}-4)(n^{2}-4)$的值。
答案：解：$\because m-n=4,mn=-3,\therefore m^{2}+n^{2}=(m-n)^{2}+2mn=$
$4^{2}+2×(-3)=16-6=10.$
$(m^{2}-4)(n^{2}-4)=(mn)^{2}-4(m^{2}+n^{2})+16,$
當(dāng)$mn=-3,m^{2}+n^{2}=10$時(shí)，
原式$=(-3)^{2}-4×10+16=9-40+16=-15.$
3. 如圖,正方形$ABCD的邊長為a$,點(diǎn)$E在AB$邊上,四邊形$EFGB$也是正方形,它的邊長為$b(a＞b)$,連接$AF,CF,AC$。
(1)用含$a,b的代數(shù)式表示GC= $
$a+b$
；
(2)若兩個(gè)正方形的面積之和為60,即$a^{2}+b^{2}= 60$,又$ab = 20$,求線段$GC$的長；
解：$\because (a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab=60+20×2=100,$
$\therefore a+b=10,\therefore GC=10.$
(3)若$a = 8$,$\triangle AFC的面積為S$,則$S= $
32
。
答案：(1)$a+b$
(2)解：$\because (a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab=60+20×2=100,$
$\therefore a+b=10,\therefore GC=10.$
(3)32 點(diǎn)撥：$S=S_{\triangle AFC}=S_{\triangle AFE}+S_{正方形FGBE}+S_{\triangle ABC}-S_{\triangle FGC}$
$=\frac {1}{2}b(a-b)+b^{2}+\frac {1}{2}a^{2}-\frac {1}{2}b(b+a)$
$=\frac {1}{2}ab-\frac {1}{2}b^{2}+b^{2}+\frac {1}{2}a^{2}-\frac {1}{2}b^{2}-\frac {1}{2}ab$
$=\frac {1}{2}a^{2}$
$=\frac {1}{2}×8^{2}$
$=32.$
