2. 如圖,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle B = 30^{\circ}$,以點(diǎn)$A$為圓心,任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交$AB$,$AC于點(diǎn)M$,$N$,再分別以點(diǎn)$M$,$N$為圓心,大于$\frac{1}{2}MN$的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧交于點(diǎn)$P$,連接$AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D$. 給出下列結(jié)論:①$AD是\angle BAC$的平分線(xiàn);②$\angle ADC = 60^{\circ}$;③點(diǎn)$D在線(xiàn)段AB$的垂直平分線(xiàn)上;④$S_{\triangle DAC}:S_{\triangle ABC}= 1:3$. 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：2.D 點(diǎn)撥:①根據(jù)作圖的過(guò)程可知，AD是∠BAC的平分線(xiàn),故①正確.
?、谌绱饒D,∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,
∴∠CAB=60°.
又∵AD是∠BAC的平分線(xiàn)，
∴∠1=∠2= $\frac{1}{2}$∠CAB = 30°,
∴∠3=90°?∠2=60°,即∠ADC=60°.故②正確.
?、邸摺?=∠B=30°,
∴AD=BD.
∴點(diǎn)D在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上.故③正確.
④如答圖，∵在直角△ACD中,∠2=30°,
∴CD=$\frac{1}{2}$AD,
∴BC=CD+BD=$\frac{1}{2}$AD+AD=$\frac{3}{2}$AD.
∵S△DAC=$\frac{1}{2}$AC·CD=$\frac{1}{4}$AC·AD,
S△ABC=$\frac{1}{2}$AC·BC=$\frac{1}{2}$AC·$\frac{3}{2}$AD=$\frac{3}{4}$AC·AD,
∴S△DAC:S△ABC=($\frac{1}{4}$AC·AD):($\frac{3}{4}$AC·AD)=1:3.故④正確.
綜上所述，正確的結(jié)論是①②③④，共4個(gè).
