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1. 如圖,已知 $ Rt\triangle OAB $,$ \angle OAB = 60^{\circ} $,$ \angle AOB = 90^{\circ} $,$ O $ 點與平面直角坐標系的原點重合,若點 $ P $ 在 $ x $ 軸上,且 $ \triangle APB $ 是等腰三角形,則滿足條件的點 $ P $ 的個數(shù)是 (

)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案：D

解析：

解：設(shè) $ OA = 1 $。
在 $ Rt\triangle OAB $ 中，$\angle OAB = 60^\circ$，$\angle AOB = 90^\circ$，則$\angle ABO = 30^\circ$，$ AB = 2OA = 2 $，$ OB = OA \tan 60^\circ = \sqrt{3} $。
$\therefore A(0,1)$，$ B(-\sqrt{3},0) $。
設(shè) $ P(x,0) $。
情況1：$ AP = BP $
$ \sqrt{x^2 + 1^2} = |x + \sqrt{3}| $
解得 $ x = \frac{\sqrt{3}}{3} $，$ P\left( \frac{\sqrt{3}}{3}, 0 \right) $。
情況2：$ AP = AB = 2 $
$ \sqrt{x^2 + 1^2} = 2 $
解得 $ x = \sqrt{3} $ 或 $ x = -\sqrt{3} $（$ x = -\sqrt{3} $ 與 $ B $ 重合，舍去），$ P(\sqrt{3}, 0) $。
情況3：$ BP = AB = 2 $
$ |x + \sqrt{3}| = 2 $
解得 $ x = 2 - \sqrt{3} $ 或 $ x = -2 - \sqrt{3} $，$ P(2 - \sqrt{3}, 0) $，$ P(-2 - \sqrt{3}, 0) $。
綜上，滿足條件的點 $ P $ 共4個。
答案：D

2. (2024 春·酒泉期末)如圖,在由邊長為 1 的小正方形組成的 $ 5 × 5 $ 的網(wǎng)格中,點 $ A $,$ B $ 在小方格的頂點上,要在小方格的頂點處確定一點 $ C $,連接 $ AC $ 和 $ BC $,使 $ \triangle ABC $ 是等腰三角形,則方格圖中滿足條件的點 $ C $ 有

個.

答案：6

解析：

解：以A為頂點，AB為腰：在網(wǎng)格中找到與B關(guān)于AB中垂線對稱或到A距離等于AB的點，有2個；
以B為頂點，AB為腰：同理找到到B距離等于AB的點，有2個；
以AB為底邊：作AB的垂直平分線，與網(wǎng)格頂點交點有2個；
共2+2+2=6個。
答案：6

3. 如圖,$ M $,$ N $ 是 $ \angle AOB $ 的邊 $ OA $ 上的兩個點 $ (OM \lt ON) $,$ \angle AOB = 30^{\circ} $,$ OM = a $,$ MN = 4 $. 若邊 $ OB $ 上有且只有 1 個點 $ P $,滿足 $ \triangle PMN $ 是等腰三角形,求 $ a $ 的取值范圍.

答案：
解:①作線段MN的垂直平分線交OB于點P，連接PM,PN,如答圖.
　　　　　　

此時 $ PM = PN $，$ \triangle PMN $ 是等腰三角形。
過點 M 作 $ MH \perp OB $ 于點 H，如答圖。
當 $ MH ＞ MN $ 時，滿足條件的點 P 恰好只有一個。
$ \because MN = 4 $，$ \angle AOB = 30^{\circ} $，
又當 $ MH = 4 $ 時，$ OM = 2MH = 8 $，
$ \therefore $ 當 $ a ＞ 8 $ 時，滿足條件的點 P 恰好只有一個。
②當 $ \triangle PMN $ 是等邊三角形時，滿足條件的點 P 恰好只有一個，
此時 $ MN = MP $，$ \angle NMP = 60^{\circ} $。
$ \because \angle AOB = 30^{\circ} $，$ \therefore \angle MPO = 30^{\circ} $，
$ \therefore OM = MP = MN = 4 $，$ \therefore a = 4 $。
綜上，滿足條件的 a 的取值范圍為 $ a = 4 $ 或 $ a ＞ 8 $。

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