1.(2024春·秦淮區(qū)月考)周長(zhǎng)為30,各邊互不相等且都是整數(shù)的三角形共有
12
個(gè).
答案：12 點(diǎn)撥:設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)為$a$,$b$,$c$,且$a\lt b\lt c$.$\because a + b + c = 30$,$a + b\gt c$,$\therefore 10\lt c\lt 15$.$\because c$為整數(shù),$\therefore c$為$11$,$12$,$13$,$14$.當(dāng)$c$為$14$時(shí),有$5$個(gè)三角形,分別是$14$,$13$,$3$;$14$,$12$,$4$;$14$,$11$,$5$;$14$,$10$,$6$;$14$,$9$,$7$;當(dāng)$c$為$13$時(shí),有$4$個(gè)三角形,分別是$13$,$12$,$5$;$13$,$11$,$6$;$13$,$10$,$7$;$13$,$9$,$8$;當(dāng)$c$為$12$時(shí),有$2$個(gè)三角形,分別是$12$,$11$,$7$;$12$,$10$,$8$;當(dāng)$c$為$11$時(shí),有$1$個(gè)三角形,是$11$,$10$,$9$.故答案為$12$.
解析：
解：設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)為$a$，$b$，$c$，且$a ＜ b ＜ c$。
因?yàn)?a + b + c = 30$，三角形任意兩邊之和大于第三邊，所以$a + b ＞ c$，即$30 - c ＞ c$，解得$c ＜ 15$。
又因?yàn)?a ＜ b ＜ c$，所以$a + b + c ＜ 3c$，即$30 ＜ 3c$，解得$c ＞ 10$。
綜上，$10 ＜ c ＜ 15$，因?yàn)?c$為整數(shù)，所以$c$的值為$11$，$12$，$13$，$14$。
當(dāng)$c = 14$時(shí)，$a + b = 16$，且$a ＜ b ＜ 14$，$a + b ＞ 14$，可得：
$b$的取值范圍為$8 ＜ b ＜ 14$，$b$為整數(shù)，所以$b = 13$，$12$，$11$，$10$，$9$，對(duì)應(yīng)$a = 3$，$4$，$5$，$6$，$7$，共$5$個(gè)三角形：$(3,13,14)$，$(4,12,14)$，$(5,11,14)$，$(6,10,14)$，$(7,9,14)$。
當(dāng)$c = 13$時(shí)，$a + b = 17$，且$a ＜ b ＜ 13$，$a + b ＞ 13$，可得：
$b$的取值范圍為$8.5 ＜ b ＜ 13$，$b$為整數(shù)，所以$b = 12$，$11$，$10$，$9$，對(duì)應(yīng)$a = 5$，$6$，$7$，$8$，共$4$個(gè)三角形：$(5,12,13)$，$(6,11,13)$，$(7,10,13)$，$(8,9,13)$。
當(dāng)$c = 12$時(shí)，$a + b = 18$，且$a ＜ b ＜ 12$，$a + b ＞ 12$，可得：
$b$的取值范圍為$9 ＜ b ＜ 12$，$b$為整數(shù)，所以$b = 11$，$10$，對(duì)應(yīng)$a = 7$，$8$，共$2$個(gè)三角形：$(7,11,12)$，$(8,10,12)$。
當(dāng)$c = 11$時(shí)，$a + b = 19$，且$a ＜ b ＜ 11$，$a + b ＞ 11$，可得：
$b$的取值范圍為$9.5 ＜ b ＜ 11$，$b$為整數(shù)，所以$b = 10$，對(duì)應(yīng)$a = 9$，共$1$個(gè)三角形：$(9,10,11)$。
綜上，滿足條件的三角形共有$5 + 4 + 2 + 1 = 12$個(gè)。
故答案為$12$。
2.$△ABC$的兩條高的長(zhǎng)度分別為4和12,若第三條高的長(zhǎng)度也為整數(shù),求第三條高的長(zhǎng)度.
答案：解:設(shè)$\triangle ABC$的三邊分別為$a$,$b$,$c$.
由題意,不妨令$a$邊上的高為$4$,$b$邊上的高為$12$,$c$邊上的高為$x$,
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× 4a=\frac{1}{2}× 12b=\frac{1}{2}xc$,
$\therefore 4a = 12b = xc$,$\therefore a=\frac{xc}{4}$,$b=\frac{xc}{12}$.
$\because a - b\lt c\lt a + b$,$\therefore \left\{\begin{array}{l}\frac{xc}{4}-\frac{xc}{12}\lt c,\\ \frac{xc}{4}+\frac{xc}{12}\gt c.\end{array}\right.$
$\because c\gt 0$,$\therefore 3\lt x\lt 6$.
$\because x$為整數(shù),$\therefore x = 4$或$5$.
$\therefore$第三條高的長(zhǎng)度為$4$或$5$.
3.已知a,b,c是$△ABC$的三邊長(zhǎng).
(1)化簡(jiǎn):$|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|;$
(2)若$△ABC$為等腰三角形,且周長(zhǎng)為18,$a= 4$,求b,c的值;
(3)若$b= a+2,c= a+5$,且$△ABC$的周長(zhǎng)不超過(guò)37,求a的取值范圍.
答案：解:(1)$\because a$,$b$,$c$是$\triangle ABC$的三邊長(zhǎng),
$\therefore a - b - c\lt 0$,$b - c - a\lt 0$,$c - a - b\lt 0$,
$\therefore$原式$= b + c - a + a + c - b + a + b - c = a + b + c$.
(2)若$a$是底邊,則$b = c$,有$2b + 4 = 18$,
解得$b = 7$,即$b = c = 7$;
若$a$是腰,$a = b$,則$2× 4 + c = 18$,解得$c = 10$,
而$4 + 4\lt 10$,不能構(gòu)成三角形,舍去.
$\therefore b = c = 7$.
(3)根據(jù)三角形三邊關(guān)系,得$\left\{\begin{array}{l}a + 5\lt a + a + 2,\\ a + a + 2 + a + 5\leqslant 37,\end{array}\right.$解得$3\lt a\leqslant 10$.
