24. (10分)(2024春·秦匯區(qū)月考)老師拿出三種型號(hào)的卡片,如圖①.
(1)利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則,計(jì)算：$(a + 2b)(a + b)= $
$a^2 + 3ab + 2b^2$
；
(2)選取1張A型卡片,4張C型卡片,則應(yīng)取
4
張B型卡片才能用它們拼成一個(gè)新的正方形,這個(gè)新的正方形的邊長(zhǎng)是
$a + 2b$
(用含a,b的代數(shù)式表示)；
(3)選取4張C型卡片在紙上按圖②的方式拼圖,并剪出中間的正方形作為第四種D型卡片,由此可檢驗(yàn)的等量關(guān)系為
$(a + b)^2 - 4ab = (a - b)^2$
；
(4)選取1張D型卡片,3張C型卡片按圖③的方式不重疊地放在長(zhǎng)方形MNPQ框架內(nèi),已知NP的長(zhǎng)度固定不變,MN的長(zhǎng)度可以變化,且$MN ＞ a$,圖中兩陰影部分(長(zhǎng)方形)的面積分別表示為$S_{1}$,$S_{2}$,若$S_{1}-S_{2}= 3b^{2}$,則a與b之間有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.
解：$a$ 與 $b$ 之間的數(shù)量關(guān)系為 $a = 4b$。理由如下：
設(shè) $MN = x$。
根據(jù)題意，得 $S_1 = (a - b)(x - a + b) = ax - bx - a^2 + 2ab - b^2$，$S_2 = 3b(x - a) = 3bx - 3ab$。
$\because S_1 - S_2 = 3b^2$，
$\therefore ax - bx - a^2 + 2ab - b^2 - (3bx - 3ab) = 3b^2$，
$\therefore (a - 4b)x - a^2 + 5ab - b^2 = 3b^2$，
$\therefore (a - 4b)x - (a^2 - 5ab + 4b^2) = 0$，
$\therefore (a - 4b)x - (a - 4b)(a - b) = 0$，
$\therefore (a - 4b)[x - (a - b)] = 0$，
$\therefore (x - a + b)(a - 4b) = 0$。
$\because x ＞ a$，$\therefore a - 4b = 0$，$\therefore a = 4b$，
$\therefore a$ 與 $b$ 之間的數(shù)量關(guān)系為 $a = 4b$。
