24. (12分)【了解概念】
定義：如果一個三角形一邊上的中線等于這條邊的一半,那么稱這個三角形為“唯美三角形”,這條中線叫這條邊的“唯美線”。
【理解運用】
(1)如圖①,$\triangle ABC$為“唯美三角形”,$BD為AC$邊的“唯美線”,試判斷$\triangle ABC$的形狀,并說明理由。
【拓展提升】
(2)在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$E為\triangle ABC$外一點,連接$EB$,$EC$,若$\triangle ABC和\triangle EBC$均為“唯美三角形”,且$AD和ED分別為這兩個三角形BC$邊的“唯美線”。
①如圖②,若點$E$,$A在直線BC$的異側(cè),連接$AE$,求$\angle AEB$的度數(shù)；
②若$E$為平面內(nèi)一點,滿足$EC = 3$,$EB = 9$,請求出點$A到BE$的距離。
答案：解:(1)結(jié)論:△ABC是直角三角形.
理由:∵△ABC為“唯美三角形”,BD為AC邊的“唯美線”,∴DB=DC=DA,
∴∠DBC=∠C,∠DBA=∠A.
∵∠A+∠ABC+∠C=180°,
∴2∠ABD+2∠DBC=180°,
∴∠ABD+∠DBC=90°,
∴∠ABC=90°,∴△ABC是直角三角形.
(2)①過點A作AH⊥EC交EC的延長線于點H,AT⊥BE于點T,如答圖①.
∵△ABC和△EBC均為“唯美三角形”,且AD和ED 分別為這兩個三角形BC邊的“唯美線”，
∴DA=DB=DC=DE,△ABC,△BEC都是直角三角形,且∠BAC=∠BEC=90°.
∵AH⊥EH,AT⊥BE,∴∠ATE=∠H=∠TEH=90°,∴四邊形ATEH是長方形，∴∠TAH=∠BAC=90°,∴∠BAT=∠CAH.
∵AB=AC,∠ATB=∠H=90°,
∴△ATB≌△AHC(AAS),∴AT=AH.
∵AH⊥EH,AT⊥BE,∴EA平分∠BEC,
∴∠AEB=$\frac{1}{2}$∠BEC=45°.
②當(dāng)點E在BC的下方時,如答圖①,
∵四邊形ATEH是長方形,AT=AH,
∴四邊形ATEH是正方形,∴ET=EH;
∵△ATB≌△AHC,∴BT=CH,
∴EB+EC=ET+BT+EH?CH=2ET=12,
∴ET=6,∴AT=6,即點A到BE的距離為6.
當(dāng)點E在BC的上方時，如答圖②,過點A作AH⊥EC 交EC的反向延長線于點H,AT⊥BE于點T.
同理可證△ABT≌△ACH,四邊形ATEH是正方形，∴BT=CH,AT=ET=AH=EH,
∴BE?CE=BT+TE?(CH?EH)=2AT=9?3=6,∴AT=3,即點A到BE的距離為3.
綜上所述,點A到BE的距離為6或3.
