9. 如圖,在$\triangle ABC$中,$AB = AC = 6$,該三角形的面積為15,$O是邊BC$上任意一點(diǎn),則點(diǎn)$O到邊AB$,$AC$的距離之和等于(
A
)
A.5
B.7.5
C.9
D.10
答案：1. 首先，連接$AO$：
設(shè)$O$到$AB$的距離為$h_1$（即$OE = h_1$），$O$到$AC$的距離為$h_2$（即$OF = h_2$）。
根據(jù)三角形面積公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$為底，$h$為高），$\triangle ABC$的面積$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABO}+S_{\triangle ACO}$。
已知$AB = AC = 6$，$S_{\triangle ABO}=\frac{1}{2}AB× OE$，$S_{\triangle ACO}=\frac{1}{2}AC× OF$。
2. 然后，代入面積公式：
因?yàn)?S_{\triangle ABC}=15$，$AB = AC = 6$，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB× OE+\frac{1}{2}AC× OF$。
把$AB = AC = 6$代入上式得$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AB×(OE + OF)$（因?yàn)?AB = AC$）。
已知$S_{\triangle ABC}=15$，$AB = 6$，根據(jù)$S=\frac{1}{2}ah$（這里$a = AB$，$h=OE + OF$），則$15=\frac{1}{2}×6×(OE + OF)$。
3. 最后，求解$OE + OF$：
由$15=\frac{1}{2}×6×(OE + OF)$，化簡方程$15 = 3×(OE + OF)$。
兩邊同時除以$3$，可得$OE + OF=\frac{15}{3}=5$。
所以點(diǎn)$O$到邊$AB$，$AC$的距離之和等于$5$，答案是A。
解析：
解：連接AO，設(shè)點(diǎn)O到AB的距離為h?，到AC的距離為h?。
∵AB=AC=6，S△ABC=15，
∴S△ABC=S△ABO+S△ACO，
即15=1/2×AB×h? + 1/2×AC×h?。
∵AB=AC=6，
∴15=1/2×6×h? + 1/2×6×h?=3(h?+h?)，
∴h?+h?=5。
答案：A
10. 如圖,在$\triangle ABC$中,$AD平分\angle BAC$,交$BC于點(diǎn)D$,$M$,$N分別是AD和AB$上的動點(diǎn),$AB = 8$,$\angle BAC = 60^{\circ}$,當(dāng)$BM + MN$的值最小時,$BN$的長為(
C
)
A.2
B.3
C.4
D.5
答案：1. 首先，作$B$關(guān)于$AD$的對稱點(diǎn)$B'$：
因?yàn)?AD$平分$\angle BAC$，所以$B'$在$AC$上，且$AB = AB'$，$BM=B'M$。
則$BM + MN=B'M + MN$。
根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，當(dāng)$B'$，$M$，$N$三點(diǎn)共線且$B'N\perp AB$時，$BM + MN = B'N$的值最小。
2. 然后，已知$\angle BAC = 60^{\circ}$，$AB = AB'=8$：
在$Rt\triangle AB'N$中，$\angle ANB' = 90^{\circ}$，$\angle B'AN = 60^{\circ}$，$\angle AB'N = 30^{\circ}$。
根據(jù)直角三角形中$30^{\circ}$所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，在$Rt\triangle AB'N$中，設(shè)$AN=x$，則$AB' = 2x$（$AB'$為斜邊，$AN$為$30^{\circ}$角$\angle AB'N$所對的直角邊）。
又因?yàn)?AB'=8$，所以$2x = 8$，解得$x = 4$。
那么$BN=AB - AN$。
已知$AB = 8$，$AN = 4$，所以$BN=8 - 4=4$。
所以當(dāng)$BM + MN$的值最小時，$BN$的長為$4$，答案是C。
解析：
解：作點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)B'，過點(diǎn)B'作B'N⊥AB于點(diǎn)N，交AD于點(diǎn)M，此時BM+MN的值最小。
∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴∠BAD=30°。
∵點(diǎn)B與B'關(guān)于AD對稱，
∴AD垂直平分BB'，∠B'AD=∠BAD=30°，AB'=AB=8。
∴∠B'AB=∠B'AD+∠BAD=60°。
∵B'N⊥AB，
∴∠ANB'=90°，
∴△AB'N是直角三角形。
在Rt△AB'N中，∠B'AN=60°，AB'=8，
∴AN=AB'·cos60°=8×1/2=4。
∵AB=8，
∴BN=AB-AN=8-4=4。
答案：C
11. 小明照鏡子時,發(fā)現(xiàn)衣服上的英文字母在鏡子中呈現(xiàn)為“$\exists \text{J}99\text{A}$”,則這組英文字母是
APPLE
。
答案：APPLE
12. 在等腰三角形、等邊三角形、非等腰直角三角形、等腰直角三角形中,軸對稱圖形有
3
個。
答案：3
解析：
解：等腰三角形是軸對稱圖形，有1條對稱軸；
等邊三角形是軸對稱圖形，有3條對稱軸；
非等腰直角三角形不是軸對稱圖形；
等腰直角三角形是軸對稱圖形，有1條對稱軸。
軸對稱圖形有3個。
答案：3
13. 設(shè)$a$,$b$分別是等腰三角形的兩條邊的長,$m$是這個三角形的周長,當(dāng)$a$,$b$,$m滿足方程組\begin{cases}a - 2b = m - 7,\\a + b= \frac{m}{4}+2\end{cases} $時,$m$的值是
5或$\frac{16}{3}$
。
答案：5或$\frac{16}{3}$
14. 如圖,在$\triangle ABC$中,$BC邊的垂直平分線交BC于點(diǎn)D$,交$AB于點(diǎn)E$,連接$CE$。若$CE平分\angle ACB$,$\angle B = 42^{\circ}$,則$\angle A = $
54
$^{\circ}$。
答案：54
解析：
解：
∵DE是BC的垂直平分線，
∴EB=EC，
∴∠ECB=∠B=42°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠ECB=84°，
∵在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴∠A=180°-∠B-∠ACB=180°-42°-84°=54°。
54
15. 在平面直角坐標(biāo)系$xOy$中,已知$A(2,-2)$,在坐標(biāo)軸上確定一點(diǎn)$B$,使$\triangle AOB$為等腰三角形,則符合條件的點(diǎn)$B$有
8
個。
答案：8
解析：
解：已知點(diǎn)$A(2,-2)$，$O$為坐標(biāo)原點(diǎn)$(0,0)$。
情況一：以$O$為頂點(diǎn)，$OA$為腰
$OA=\sqrt{(2-0)^2+(-2-0)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
在$x$軸上：$B_1(2\sqrt{2},0)$，$B_2(-2\sqrt{2},0)$
在$y$軸上：$B_3(0,2\sqrt{2})$，$B_4(0,-2\sqrt{2})$
情況二：以$A$為頂點(diǎn)，$OA$為腰
在$x$軸上：設(shè)$B(x,0)$，$(x-2)^2+(0+2)^2=(2\sqrt{2})^2$，解得$x=4$（$x=0$與$O$重合，舍去），即$B_5(4,0)$
在$y$軸上：設(shè)$B(0,y)$，$(0-2)^2+(y+2)^2=(2\sqrt{2})^2$，解得$y=-4$（$y=0$與$O$重合，舍去），即$B_6(0,-4)$
情況三：以$OA$為底邊
在$x$軸上：設(shè)$B(x,0)$，$OA$中垂線方程為$y=x$，與$x$軸交于$B_7(0,0)$（與$O$重合，舍去），另解：$x^2=(x-2)^2+4$，解得$x=2$，即$B_7(2,0)$
在$y$軸上：設(shè)$B(0,y)$，$y^2=4+(y+2)^2$，解得$y=-2$，即$B_8(0,-2)$
綜上，符合條件的點(diǎn)$B$有$8$個。
答案：$8$
16. 如圖,在三角形紙片$ABC$中,$AC = BC$。把$\triangle ABC沿著AC$翻折,點(diǎn)$B落在點(diǎn)D$處,連接$BD$。若$\angle BAC = 40^{\circ}$,則$\angle CBD$的度數(shù)是
10°
。
答案：10°
17. 如圖,在四邊形$ABCD$中,$AC = BC$,$\angle ACB= \angle ADC = 90^{\circ}$,$CD = 20$,則$\triangle BCD$的面積為______。
200
答案：200
解析：
解：過點(diǎn)$B$作$BE \perp CD$，交$DC$的延長線于點(diǎn)$E$。
$\because \angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle ADC = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle ACD + \angle BCE = 90^{\circ}$，$\angle ACD + \angle CAD = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle BCE = \angle CAD$。
在$\triangle ACD$和$\triangle CBE$中，
$\begin{cases} \angle ADC = \angle CEB = 90^{\circ} \\\angle CAD = \angle BCE \\AC = CB \end{cases}$，
$\therefore \triangle ACD \cong \triangle CBE(AAS)$，
$\therefore BE = CD = 20$。
$\therefore S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2} × CD × BE = \frac{1}{2} × 20 × 20 = 200$。
200
