1. 下列說法正確的是(
C
)
A.形狀相同的兩個(gè)三角形全等
B.面積相等的兩個(gè)三角形全等
C.完全重合的兩個(gè)三角形全等
D.所有的等邊三角形全等
答案：C
2. 如圖,若$\triangle ABC\cong \triangle ADE$,點(diǎn)$D在BC$上,則下列結(jié)論中不成立的是(
D
)
A.$∠BAD= ∠CAE$
B.$∠BAD= ∠CDE$
C.$DA平分∠BDE$
D.$AC= DE$
答案：D
解析：
解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠ADE，AB=AD，AC=AE，BC=DE，
∴∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，即∠BAD=∠CAE，選項(xiàng)A成立；
∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB，
∵∠B=∠ADE，
∴∠ADB=∠ADE，即DA平分∠BDE，選項(xiàng)C成立；
∵∠ADB=∠ADE，∠ADB + ∠ADC=180°，∠ADE + ∠CDE=180°，
∴∠ADC=∠CDE，
∵∠ADC=∠B + ∠BAD，∠CDE=∠C + ∠CAE，∠B=∠ADE，∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD=∠CDE，選項(xiàng)B成立；
∵AC=AE≠DE，選項(xiàng)D不成立。
結(jié)論：D
3. 已知$\triangle ABC\cong \triangle A_{1}B_{1}C_{1}$,點(diǎn)$A和點(diǎn)A_{1}$對(duì)應(yīng),點(diǎn)$B和點(diǎn)B_{1}$對(duì)應(yīng),$∠A= 70^{\circ}$,$∠B_{1}= 50^{\circ}$,則$∠C$的度數(shù)為(
D
)
A.$70^{\circ}$
B.$50^{\circ}$
C.$120^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
答案：D
解析：
解：∵△ABC≌△A?B?C?，點(diǎn)A和點(diǎn)A?對(duì)應(yīng)，點(diǎn)B和點(diǎn)B?對(duì)應(yīng)，
∴∠B=∠B?=50°，
∵∠A=70°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-70°-50°=60°。
D
4. 如圖,$∠ACB= 90^{\circ}$,$AC= BC$,$AD\perp CE$,$BE\perp CE$,垂足分別是$D$,$E$. 若$AD= 3$,$BE= 1$,則$DE$的長(zhǎng)是(
B
)
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：B
解析：
解：
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°.
∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BCE.
在△ACD和△CBE中，
∠ADC=∠CEB，
∠CAD=∠BCE，
AC=CB，
∴△ACD≌△CBE(AAS).
∴AD=CE=3，CD=BE=1.
∵DE=CE-CD，
∴DE=3-1=2.
答案：B
5. 在平面直角坐標(biāo)系$xOy$中,已知$A(-3,0)$,$B(2,0)$,$C(-1,2)$,$E(4,2)$,如果$\triangle ABC與\triangle EFB$全等,那么點(diǎn)$F$的坐標(biāo)可以是(
D
)
A.$(6,0)$
B.$(4,0)$
C.$(4,-2)$
D.$(4,-3)$
答案：D
解析：
解：
已知 $ A(-3,0) $, $ B(2,0) $, $ C(-1,2) $, $ E(4,2) $，$\triangle ABC$ 與 $\triangle EFB$ 全等。
步驟1：計(jì)算 $\triangle ABC$ 的邊長(zhǎng)
$ AB = |2 - (-3)| = 5 $
$ AC = \sqrt{(-1 - (-3))^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2} $
$ BC = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 2^2} = \sqrt{13} $
步驟2：分析 $\triangle EFB$ 與 $\triangle ABC$ 全等的對(duì)應(yīng)關(guān)系
$\triangle EFB$ 中，$ B(2,0) $, $ E(4,2) $，需確定點(diǎn) $ F $ 使三邊對(duì)應(yīng)相等。
情況1：若 $ EF = AB = 5 $, $ BF = AC = 2\sqrt{2} $, $ BE = BC = \sqrt{13} $
$ BE = \sqrt{(4 - 2)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2} \neq BC $，排除。
情況2：若 $ EF = AC = 2\sqrt{2} $, $ BF = BC = \sqrt{13} $, $ BE = AB = 5 $
$ BE = 2\sqrt{2} \neq AB $，排除。
情況3：若 $ EF = BC = \sqrt{13} $, $ BF = AB = 5 $, $ BE = AC = 2\sqrt{2} $
$ BE = 2\sqrt{2} = AC $，成立。
設(shè) $ F(x,y) $，則：
$ BF = 5 \Rightarrow \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 0)^2} = 5 $
$ EF = \sqrt{13} \Rightarrow \sqrt{(x - 4)^2 + (y - 2)^2} = \sqrt{13} $
聯(lián)立解得 $ F(4,-3) $（驗(yàn)證選項(xiàng)D滿足）。
結(jié)論：點(diǎn) $ F $ 的坐標(biāo)為 $ (4,-3) $。
答案：D
6. 點(diǎn)$O在\triangle ABC$內(nèi),且到三邊的距離相等,若$∠A= 40^{\circ}$,則$∠BOC$等于(
A
)
A.$110^{\circ}$
B.$115^{\circ}$
C.$125^{\circ}$
D.$130^{\circ}$
答案：A
解析：
解：∵點(diǎn)O在△ABC內(nèi)，且到三邊的距離相等，
∴O是△ABC的內(nèi)心，即三條角平分線的交點(diǎn)。
∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°。
∵BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac {1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=70°。
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=110°。
答案：A
7. 已知$\triangle ABC\cong \triangle DEF$,且$\triangle ABC$的周長(zhǎng)為20,$AB= 8$,$BC= 3$,則$DF$等于(
C
)
A.3
B.5
C.9
D.11
答案：C
解析：
解：在△ABC中，周長(zhǎng)為20，AB=8，BC=3，
則AC=20 - AB - BC=20 - 8 - 3=9。
因?yàn)椤鰽BC≌△DEF，
所以DF=AC=9。
答案：C
8. (2024秋·海安期末)如圖,在$\triangle ABC$中,$CA= CB$,$∠ACB= 110^{\circ}$,點(diǎn)$D在線段BC$的延長(zhǎng)線上,在$∠ACD內(nèi)作射線CE$,使得$∠ECD= 15^{\circ}$,過點(diǎn)$A作AF\perp CE$,垂足為$F$. 若$AF= \sqrt{5}$,則$AB$的長(zhǎng)為( )
B
A.$\sqrt{10}$
B.$2\sqrt{5}$
C.4
D.6
答案：1. 首先求$\angle ACF$的度數(shù)：
已知$\angle ACB = 110^{\circ}$，$\angle ECD = 15^{\circ}$，根據(jù)平角的定義$\angle ACB+\angle ACD = 180^{\circ}$，所以$\angle ACD=180^{\circ}-\angle ACB = 180 - 110^{\circ}=70^{\circ}$。
又因?yàn)?\angle ACF+\angle ECD=\angle ACD$，所以$\angle ACF=\angle ACD - \angle ECD$，則$\angle ACF = 70^{\circ}-15^{\circ}=55^{\circ}$。
2. 然后求$\angle CAF$的度數(shù)：
因?yàn)?AF\perp CE$，在$Rt\triangle ACF$中，$\angle AFC = 90^{\circ}$，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理$\angle CAF+\angle ACF+\angle AFC = 180^{\circ}$，所以$\angle CAF=180^{\circ}-\angle AFC-\angle ACF$。
把$\angle AFC = 90^{\circ}$，$\angle ACF = 55^{\circ}$代入可得$\angle CAF=180^{\circ}-90^{\circ}-55^{\circ}=35^{\circ}$。
3. 接著求$\angle CAB$和$\angle CBA$的度數(shù)：
因?yàn)?CA = CB$，$\angle ACB = 110^{\circ}$，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)$\angle CAB=\angle CBA=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ACB)$。
則$\angle CAB=\angle CBA=\frac{1}{2}(180 - 110^{\circ}) = 35^{\circ}$。
4. 最后證明$\triangle ACF\cong\triangle ABG$（過$C$作$CG\perp AB$于$G$）：
過$C$作$CG\perp AB$于$G$，在$\triangle ACF$和$\triangle ACG$中，$\angle AFC=\angle AGC = 90^{\circ}$，$\angle CAF=\angle CAB = 35^{\circ}$，$AC = AC$。
根據(jù)$AAS$（兩角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等）可得$\triangle ACF\cong\triangle ACG$，所以$CG = AF$。
已知$AF=\sqrt{5}$，則$CG=\sqrt{5}$。
因?yàn)?CA = CB$，$CG\perp AB$，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)$AB = 2AG$。
在$Rt\triangle ACG$中，$\angle CAB = 35^{\circ}$，$\sin\angle CAB=\frac{CG}{AC}$，$\cos\angle CAB=\frac{AG}{AC}$，又因?yàn)?\angle CAF=\angle CAB$，$\sin\angle CAF=\frac{CF}{AC}$，$\cos\angle CAF=\frac{AF}{AC}$。
由于$CA = CB$，$CG\perp AB$，$AB = 2AG$，在$Rt\triangle ACG$中，$\angle CAB = 35^{\circ}$，$\sin35^{\circ}=\frac{CG}{AC}$，$\cos35^{\circ}=\frac{AG}{AC}$，且$\triangle ACF\cong\triangle ACG$（$AAS$：$\angle AFC=\angle AGC$，$\angle CAF=\angle CAB$，$AC = AC$），所以$AG = AF$。
因?yàn)?AF=\sqrt{5}$，所以$AB = 2AF$。
所以$AB = 2\sqrt{5}$，答案是B。
解析：
解：
∵CA=CB，∠ACB=110°，
∴∠CAB=∠CBA=(180°-110°)/2=35°，∠ACD=180°-110°=70°。
∵∠ECD=15°，
∴∠ACE=∠ACD-∠ECD=70°-15°=55°。
∵AF⊥CE，
∴∠AFC=90°，∠CAF=90°-∠ACE=35°。
在Rt△AFC中，AF=√5，∠CAF=35°，∠CAB=35°，
∴AC=AF/cos35°，AB=2AC·cos35°=2×(√5/cos35°)×cos35°=2√5。
答案：B
