24. (12分)(2024春·武進(jìn)區(qū)月考)【概念認(rèn)識】
如圖①,在$∠ABC$中,若$∠ABD= ∠DBE= ∠EBC$,則$BD$,$BE叫作∠ABC$的“三分線”.其中,$BD$是“鄰$AB$三分線”,$BE$是“鄰$BC$三分線”.
【問題解決】
(1)如圖②,在$\triangle ABC$中,$∠A= 80^{\circ }$,$∠B= 45^{\circ }$,若$∠B的三分線BD交AC于點(diǎn)D$,求$∠BDC$的度數(shù)；
(2)如圖③,在$\triangle ABC$中,$BP$,$CP分別是∠ABC$的“鄰$BC$三分線”和$∠ACB$的“鄰$BC$三分線”,且$∠BPC= 140^{\circ }$,求$∠A$的度數(shù)；
【延伸推廣】
(3)在$\triangle ABC$中,$∠ACD是\triangle ABC$的外角,$∠B的三分線所在的直線與∠ACD的三分線所在的直線交于點(diǎn)P$.若$∠A= m^{\circ }(m＞54)$,$∠B= 54^{\circ }$,直接寫出$∠BPC$的度數(shù).(用含$m$的代數(shù)式表示)
答案：解:(1)如答圖①。
當(dāng) $BD$ 是“鄰 $AB$ 三分線”時(shí)，$\angle ABD' = \frac{1}{3}\angle ABC = 15^{\circ}$，$\therefore \angle BD'C = 80^{\circ} + 15^{\circ} = 95^{\circ}$；當(dāng) $BD$ 是“鄰 $BC$ 三分線”時(shí)，$\angle ABD'' = \frac{2}{3}\angle ABC = 30^{\circ}$，$\therefore \angle BD''C = 80^{\circ} + 30^{\circ} = 110^{\circ}$。$\therefore \angle BDC$ 的度數(shù)為 $95^{\circ}$ 或 $110^{\circ}$。
(2)在 $\triangle BPC$ 中，$\because \angle BPC = 140^{\circ}$，$\therefore \angle PBC + \angle PCB = 40^{\circ}$。又 $\because BP,CP$ 分別是 $\angle ABC$ 的“鄰 $BC$ 三分線”和 $\angle ACB$ 的“鄰 $BC$ 三分線”，$\therefore \angle PBC = \frac{1}{3}\angle ABC,\angle PCB = \frac{1}{3}\angle ACB$，$\therefore \frac{1}{3}\angle ABC + \frac{1}{3}\angle ACB = 40^{\circ}$，$\therefore \angle ABC + \angle ACB = 120^{\circ}$。在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$，$\therefore \angle A = 180^{\circ} - (\angle ABC + \angle ACB) = 60^{\circ}$。
(3) $\angle BPC$ 的度數(shù)為 $\frac{2}{3}m^{\circ}$ 或 $\frac{1}{3}m^{\circ}$ 或 $\frac{2}{3}m^{\circ} + 18^{\circ}$ 或 $\frac{1}{3}m^{\circ} - 18^{\circ}$ 點(diǎn)撥:分 4 種情況進(jìn)行討論:情況一:如答圖②，當(dāng) $BP$ 和 $CP$ 分別是“鄰 $AB$ 三分線”“鄰 $AC$ 三分線”時(shí)，$\angle PBD = \frac{2}{3}\angle ABC = 36^{\circ},\angle PCD = \frac{2}{3}\angle ACD = \frac{2}{3}(\angle A + \angle ABC) = \frac{2}{3}m^{\circ} + 36^{\circ}$，$\therefore \angle BPC = \angle PCD - \angle PBD = \frac{2}{3}m^{\circ}$；情況二:如答圖③，當(dāng) $BP$ 和 $CP$ 分別是“鄰 $BC$ 三分線”“鄰 $CD$ 三分線”時(shí)，$\angle PBD = \frac{1}{3}\angle ABC = 18^{\circ}$，$\angle PCD = \frac{1}{3}\angle ACD = \frac{1}{3}m^{\circ} + 18^{\circ}$，$\therefore \angle BPC = \angle PCD - \angle PBD = \frac{1}{3}m^{\circ}$；情況三:如答圖④，當(dāng) $BP$ 和 $CP$ 分別是“鄰 $BC$ 三分線”“鄰 $AC$ 三分線”時(shí)，同理得 $\angle BPC = \angle PCD - \angle PBD = \frac{2}{3}m^{\circ} + 18^{\circ}$；情況四:如答圖⑤，當(dāng) $BP$ 和 $CP$ 分別是“鄰 $AB$ 三分線”“鄰 $CD$ 三分線”時(shí)，同理得 $\angle BPC = \angle PCD - \angle PBD = \frac{1}{3}m^{\circ} - 18^{\circ}$。綜上所述，$\angle BPC$ 的度數(shù)為 $\frac{2}{3}m^{\circ}$ 或 $\frac{1}{3}m^{\circ}$ 或 $\frac{2}{3}m^{\circ} + 18^{\circ}$ 或 $\frac{1}{3}m^{\circ} - 18^{\circ}$。
