9. 如圖,$AD是\triangle ABC$的中線,$CE是AB$邊上的高,$AB= 4$,$S_{\triangle ADC}= 6$,則$CE= $(
D
)
A.3
B.4
C.5
D.6
答案：D
解析：
解：∵AD是△ABC的中線，
∴BD=DC，
∵S△ADC=6，
∴S△ABD=S△ADC=6，
∴S△ABC=S△ABD+S△ADC=12，
∵CE是AB邊上的高，AB=4，
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$·AB·CE，
即12=$\frac{1}{2}$×4×CE，
解得CE=6。
答案：D
10. 三角形中,如果一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍,這樣的三角形我們稱為“靈動(dòng)三角形”.例如,三個(gè)內(nèi)角分別為$120^{\circ },40^{\circ },20^{\circ }$的三角形是“靈動(dòng)三角形”.如圖,$∠MON= 60^{\circ }$,在射線$OM上找一點(diǎn)A$,過(guò)點(diǎn)$A作AB⊥OM交ON于點(diǎn)B$,以點(diǎn)$A為端點(diǎn)作射線AD$,交線段$OB于點(diǎn)C$(規(guī)定$0^{\circ }＜∠OAC＜90^{\circ }$).有下列結(jié)論：①$∠ABO的度數(shù)為30^{\circ }$；②$\triangle AOB$是“靈動(dòng)三角形”；③若$∠BAC= 70^{\circ }$,則$\triangle AOC$是“靈動(dòng)三角形”；④當(dāng)$\triangle ABC$是“靈動(dòng)三角形”時(shí),$∠OAC為30^{\circ }或52.5^{\circ }$.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(
C
)
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：C
解析：
解：①∵AB⊥OM，∴∠OAB=90°，∵∠MON=60°，∴∠ABO=180°-90°-60°=30°，①正確。
②∠OAB=90°，∠MON=60°，∠ABO=30°，90°=3×30°，∴△AOB是“靈動(dòng)三角形”，②正確。
③∠BAC=70°，∠OAB=90°，∴∠OAC=90°-70°=20°，∠AOC=60°，∠ACO=180°-60°-20°=100°，100°不是60°或20°的3倍，60°不是20°的3倍，∴△AOC不是“靈動(dòng)三角形”，③錯(cuò)誤。
④設(shè)∠OAC=α，則∠BAC=90°-α，∠ABC=30°，∠ACB=180°-30°-(90°-α)=60°+α。
情況1：∠ABC=3∠BAC，30°=3(90°-α)，α=80°(舍，0°＜α＜90°但此時(shí)∠ACB=140°，不滿足)；
情況2：∠BAC=3∠ABC，90°-α=3×30°，α=0°(舍)；
情況3：∠ACB=3∠ABC，60°+α=3×30°，α=30°；
情況4：∠ABC=3∠ACB，30°=3(60°+α)，α=-50°(舍)；
情況5：∠ACB=3∠BAC，60°+α=3(90°-α)，α=52.5°；
情況6：∠BAC=3∠ACB，90°-α=3(60°+α)，α=-22.5°(舍)；
綜上，α=30°或52.5°，④正確。
正確結(jié)論個(gè)數(shù)為3，選C。
11. 為使一個(gè)四邊形木架不變形,我們會(huì)沿其對(duì)角線釘一根木條,這是利用了三角形的
穩(wěn)定性
.
答案：穩(wěn)定性
12. 若三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和5,第三邊長(zhǎng)為$a$,則$a$的取值范圍是
$3 ＜ a ＜ 7$
.
答案：$3 ＜ a ＜ 7$
解析：
解：根據(jù)三角形三邊關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。
5 - 2 ＜ a ＜ 5 + 2
3 ＜ a ＜ 7
故答案為：3 ＜ a ＜ 7
13. 一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等,且每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)都是與它相鄰?fù)饨嵌葦?shù)的3倍,則這是
八
邊形.
答案：八
解析：
設(shè)這個(gè)多邊形的每個(gè)外角的度數(shù)為$x$，則每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為$3x$。
因?yàn)槎噙呅蔚囊粋€(gè)內(nèi)角與它相鄰的外角互補(bǔ)，所以$x + 3x = 180^\circ$，
解得$4x = 180^\circ$，$x = 45^\circ$。
由于多邊形的外角和為$360^\circ$，所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)為$360^\circ ÷ 45^\circ = 8$。
八
14. 如圖,在直角三角形$ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,$AC= 3$,$BC= 4$,$AB= 5$,則點(diǎn)$C到AB$的距離為
2.4
.
答案：2.4
解析：
解：設(shè)點(diǎn)$C$到$AB$的距離為$h$。
$\because \angle ACB = 90^{\circ}$，
$\therefore S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AC \cdot BC = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6$。
又$\because S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AB \cdot h$，$AB = 5$，
$\therefore \frac{1}{2} × 5 × h = 6$，解得$h = \frac{12}{5} = 2.4$。
2.4
15. 如圖,$∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= n\cdot 90^{\circ }$,則$n= $
6
.
答案：6
解析：
連接BF，設(shè)BC與GF交于點(diǎn)O。
在△GOC中，∠G + ∠C + ∠GOC = 180°；在△BOF中，∠OBF + ∠OFB + ∠BOF = 180°。
因?yàn)椤螱OC = ∠BOF，所以∠G + ∠C = ∠OBF + ∠OFB。
∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F + ∠G = ∠A + ∠B + (∠OBF + ∠OFB) + ∠D + ∠E + ∠F = ∠A + (∠B + ∠OBF) + (∠OFB + ∠F) + ∠D + ∠E = ∠A + ∠ABF + ∠BFG + ∠D + ∠E。
五邊形ABFED的內(nèi)角和為(5 - 2)×180° = 540°，即∠A + ∠ABF + ∠BFG + ∠D + ∠E = 540°。
所以∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F + ∠G = 540° = 6×90°，則n = 6。
6
16. 如圖是一副三角板拼成的圖案,則$∠AED$的度數(shù)為
105
$^{\circ }$.
答案：105
17. 如圖,在$\triangle ABC$中,$∠A= 56^{\circ }$,點(diǎn)$D在AB$上,過(guò)點(diǎn)$D作DE// BC$,交$AC于點(diǎn)E$,$DP平分∠ADE$,交$∠ACB的平分線于點(diǎn)P$,$CP與DE相交于點(diǎn)G$,$∠ACF的平分線CQ與DP相交于點(diǎn)Q$,則$∠DQC= $
28
$^{\circ }$.
答案：1. 首先，因?yàn)?DE// BC$：
根據(jù)兩直線平行，同位角相等，可得$\angle ADE=\angle B$，$\angle AED = \angle ACB$。
已知$\angle A = 56^{\circ}$，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理$\angle A+\angle B+\angle ACB = 180^{\circ}$，所以$\angle B+\angle ACB=180^{\circ}-\angle A = 124^{\circ}$。
又因?yàn)?\angle ACF=\angle A+\angle B$（三角形外角性質(zhì)）。
2. 然后，根據(jù)角平分線的性質(zhì)：
因?yàn)?DP$平分$\angle ADE$，設(shè)$\angle ADP=\angle PDE=\frac{1}{2}\angle ADE$；$CP$平分$\angle ACB$，設(shè)$\angle ACG=\angle BCG=\frac{1}{2}\angle ACB$；$CQ$平分$\angle ACF$，設(shè)$\angle ACQ=\angle FCQ=\frac{1}{2}\angle ACF$。
由$\angle ACF=\angle A+\angle B$，可得$\angle FCQ=\frac{1}{2}(\angle A+\angle B)$。
又因?yàn)?\angle DGC=\angle BCG+\angle B$（三角形外角性質(zhì)，$\angle DGC$是$\triangle BCG$的外角），且$\angle PDE=\frac{1}{2}\angle B$。
根據(jù)三角形外角性質(zhì)$\angle DQC=\angle FCQ - \angle PDE$。
把$\angle FCQ=\frac{1}{2}(\angle A+\angle B)$，$\angle PDE=\frac{1}{2}\angle B$代入$\angle DQC=\angle FCQ - \angle PDE$中。
則$\angle DQC=\frac{1}{2}(\angle A+\angle B)-\frac{1}{2}\angle B$。
3. 最后，化簡(jiǎn)求解：
對(duì)$\angle DQC=\frac{1}{2}(\angle A+\angle B)-\frac{1}{2}\angle B$進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)乘法分配律$a(b + c)=ab+ac$，這里$a=\frac{1}{2}$，$b = \angle A$，$c=\angle B$，$\angle DQC=\frac{1}{2}\angle A+\frac{1}{2}\angle B-\frac{1}{2}\angle B$。
所以$\angle DQC=\frac{1}{2}\angle A$。
已知$\angle A = 56^{\circ}$，則$\angle DQC = 28^{\circ}$。
故答案為：$28$。
解析：
解：
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB。
∵DP平分∠ADE，
∴∠PDE=∠ADP=1/2∠ADE=1/2∠B。
∵CQ平分∠ACF，∠ACF=180°-∠ACB，
∴∠QCF=1/2∠ACF=90°-1/2∠ACB。
∵∠A=56°，
∴∠B+∠ACB=180°-∠A=124°。
在△DQC中，∠DQC=180°-∠QDC-∠QCD。
∠QDC=∠ADP=1/2∠B，∠QCD=∠QCF=90°-1/2∠ACB，
∴∠DQC=180°-1/2∠B-(90°-1/2∠ACB)=90°-1/2(∠B-∠ACB)。
又∠B+∠ACB=124°，
∴∠DQC=90°-1/2(124°-2∠ACB-∠ACB)（此步可簡(jiǎn)化為）
=90°-1/2(∠B+∠ACB)=90°-1/2×124°=90°-62°=28°。
28
18. (6分)一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)是三個(gè)連續(xù)的奇數(shù),且三角形的周長(zhǎng)小于30,求這個(gè)三角形三邊的長(zhǎng).
答案：解:依題意設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為 $x - 2,x,x + 2$，$\therefore \left\{\begin{array}{l} x - 2 + x + x + 2 ＜ 30,\\ x - 2 ＞ 0,\end{array}\right.$ 解得 $2 ＜ x ＜ 10$，$\therefore x$ 最大取 9，最小取 3，且 $x$ 為奇數(shù)。當(dāng) $x = 9$ 時(shí)，三邊的長(zhǎng)分別為 7，9，11；當(dāng) $x = 7$ 時(shí)，三邊的長(zhǎng)分別為 5，7，9；當(dāng) $x = 5$ 時(shí)，三邊的長(zhǎng)分別為 3，5，7；當(dāng) $x = 3$ 時(shí)，三邊的長(zhǎng)分別為 1，3，5，此時(shí)不能構(gòu)成三角形。綜上，這個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)分別為 7，9，11 或 5，7，9 或 3，5，7。
解析：
解：設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為 $x - 2$，$x$，$x + 2$（$x$ 為奇數(shù)）。
根據(jù)題意，得：
$\begin{cases}(x - 2) + x + (x + 2) ＜ 30 \\x - 2 ＞ 0\end{cases}$
解得：$2 ＜ x ＜ 10$。
因?yàn)?$x$ 為奇數(shù)，所以 $x$ 可取 3，5，7，9。
當(dāng) $x = 3$ 時(shí)，三邊長(zhǎng)為 1，3，5，$1 + 3 = 4 ＜ 5$，不能構(gòu)成三角形；
當(dāng) $x = 5$ 時(shí)，三邊長(zhǎng)為 3，5，7，$3 + 5 ＞ 7$，能構(gòu)成三角形；
當(dāng) $x = 7$ 時(shí)，三邊長(zhǎng)為 5，7，9，$5 + 7 ＞ 9$，能構(gòu)成三角形；
當(dāng) $x = 9$ 時(shí)，三邊長(zhǎng)為 7，9，11，$7 + 9 ＞ 11$，能構(gòu)成三角形。
綜上，這個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)分別為 3，5，7 或 5，7，9 或 7，9，11。
