1. 在平面直角坐標(biāo)系 $ xOy $ 中,點 $ P(-3,5) $ 關(guān)于 $ y $ 軸的對稱點在 (
A
)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案：A
解析：
點$ P(-3,5) $關(guān)于$ y $軸的對稱點的坐標(biāo)為$(3,5)$。因為點$(3,5)$的橫坐標(biāo)為正，縱坐標(biāo)為正，所以該點在第一象限。
A
2. 若點 $ P $ 關(guān)于 $ x $ 軸的對稱點為 $ P_{1}(2a + b,-a + 1) $,關(guān)于 $ y $ 軸的對稱點為 $ P_{2}(4 - b,b + 2) $,則點 $ P $ 的坐標(biāo)為 (
D
)
A.$ (9,3) $
B.$ (-9,3) $
C.$ (9,-3) $
D.$ (-9,-3) $
答案：【解析】：
題目考查了關(guān)于$x$軸和$y$軸對稱的點的坐標(biāo)性質(zhì)。
對于點$P$關(guān)于$x$軸的對稱點$P_1$，其橫坐標(biāo)與$P$相同，縱坐標(biāo)是$P$的縱坐標(biāo)的相反數(shù)。
對于點$P$關(guān)于$y$軸的對稱點$P_2$，其縱坐標(biāo)與$P$相同，橫坐標(biāo)是$P$的橫坐標(biāo)的相反數(shù)。
根據(jù)題意，設(shè)點$P$的坐標(biāo)為$(x, y)$，則有：
$P_1$的坐標(biāo)為$(x, -y) = (2a + b, -a + 1)$。
$P_2$的坐標(biāo)為$(-x, y) = (4 - b, b + 2)$。
從$P_1$的坐標(biāo)關(guān)系，可以得到兩個方程：
$x = 2a + b$。
$-y = -a + 1$，即$y = a - 1$。
從$P_2$的坐標(biāo)關(guān)系，可以得到兩個方程：
$-x = 4 - b$，即$x = b - 4$。
$y = b + 2$。
將上述方程組合并，我們得到：
$2a + b = b - 4$，即$2a = -4$，解得$a = -2$。
$a - 1 = b + 2$，將$a = -2$代入，得$b = -5$。
再次使用$x = 2a + b$和$y = a - 1$（或$y = b + 2$，兩者應(yīng)該等價），我們得到：
$x = 2(-2) - 5 = -9$。
$y = -2 - 1 = -3$（或$y = -5 + 2 = -3$）。
所以，點$P$的坐標(biāo)為$(-9, -3)$。
【答案】：
D. $(-9, -3)$。
3. 如圖,點 $ P(-2,1) $ 與點 $ Q(a,b) $ 關(guān)于直線 $ l:y = -1 $ 對稱,則 $ a + b $ 的值是
-5
.
答案：【解析】：本題考查坐標(biāo)系中關(guān)于某直線對稱的點的坐標(biāo)特征，
在平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于直線$y = k$（$k$為常數(shù)）對稱的兩點，縱坐標(biāo)到直線$y = k$的距離相等，且這兩點的連線與直線$y = k$垂直（即縱坐標(biāo)關(guān)于$k$對稱），橫坐標(biāo)不變。
已知點$P(-2,1)$與點$Q(a,b)$關(guān)于直線$y = -1$對稱，
根據(jù)上述性質(zhì)可知，點$P$與點$Q$的橫坐標(biāo)相同，即$a = -2$。
點$P$的縱坐標(biāo)為$1$，它到直線$y = -1$的距離為$1 - (-1)= 2$，
那么點$Q$的縱坐標(biāo)$b$到直線$y = -1$的距離也為$2$，且在直線$y = -1$的下方，
所以$b = -1 - 2 = -3$。
將$a = -2$，$b = -3$代入$a + b$可得：$a + b = -2 + (-3)= -5$。
【答案】：$-5$。
4. 在平面直角坐標(biāo)系中,點 $ A(a,-3) $ 向左平移 3 個單位長度得到點 $ A' $.若點 $ A $ 和點 $ A' $ 關(guān)于 $ y $ 軸對稱,則 $ a $ 的值為
$\frac{3}{2}$
.
答案：【解析】：
本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系中點的平移和關(guān)于$y$軸對稱的性質(zhì)。
首先，點$A(a, -3)$向左平移3個單位長度，根據(jù)平移規(guī)則，新點$A'$的坐標(biāo)為$(a-3, -3)$。
然后，由于點$A$和點$A'$關(guān)于$y$軸對稱，根據(jù)對稱性質(zhì)，有$a = -(a - 3)$。
解這個方程，我們得到$a = \frac{3}{2}$。
【答案】：
$\frac{3}{2}$。
5. 如圖所示.
(1) $ A,B $ 兩點關(guān)于
$y$
軸對稱.
(2) $ A,D $ 兩點的橫坐標(biāo)相等,線段 $ AD $
平行
$ y $ 軸,線段 $ AD $
垂直
$ x $ 軸;若點 $ P $ 是直線 $ AD $ 上任意一點,則點 $ P $ 的橫坐標(biāo)為
$-2$
.
(3)線段 $ AB $ 與 $ CD $ 的位置關(guān)系是
平行
;若 $ Q $ 是直線 $ AB $ 上任意一點,則點 $ Q $ 的縱坐標(biāo)為
$4$
.
答案：【解析】：本題主要考查了關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點的坐標(biāo)性質(zhì)以及坐標(biāo)系中線段的位置關(guān)系。
(1)觀察點$A$和點$B$的坐標(biāo)，可以發(fā)現(xiàn)它們的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，這是關(guān)于$y$軸對稱的點的坐標(biāo)特征。
(2)觀察點$A$和點$D$的坐標(biāo)，可以發(fā)現(xiàn)它們的橫坐標(biāo)相同，因此線段$AD$垂直于$x$軸，即平行于$y$軸。
由于線段$AD$垂直于$x$軸，所以線段$AD$與$x$軸垂直。
因為點$P$是直線$AD$上任意一點，直線$AD$上所有點的橫坐標(biāo)都與點$A$和點$D$的橫坐標(biāo)相同，即$-2$。
(3)觀察線段$AB$和線段$CD$，可以發(fā)現(xiàn)它們都與$x$軸垂直，因此線段$AB$與線段$CD$平行。
因為點$Q$是直線$AB$上任意一點，直線$AB$上所有點的縱坐標(biāo)都與點$A$和點$B$的縱坐標(biāo)相同，即$4$。
【答案】：(1)$y$
(2)平行；垂直；$-2$
(3)平行；$4$
6. 已知點 $ A(2a - b,5 + a) $, $ B(2b - 1,-a + b) $.
(1)若點 $ A,B $ 關(guān)于 $ x $ 軸對稱,求 $ a,b $ 的值;
(2)若點 $ A,B $ 關(guān)于 $ y $ 軸對稱,求 $ (4a + b)^{2026} $ 的值.
答案：【解析】：
本題主要考查了關(guān)于$x$軸和$y$軸對稱的點的坐標(biāo)性質(zhì)。
(1) 對于點$A(2a - b,5 + a)$和$B(2b - 1,-a + b)$關(guān)于$x$軸對稱的情況：
根據(jù)關(guān)于$x$軸對稱的點的坐標(biāo)性質(zhì)，橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，可以列出以下方程組：
$\begin{cases}2a - b = 2b - 1, \\5 + a = -(-a + b).\end{cases}$解這個方程組，我們得到：
從第一個方程，我們可以得到：
$2a - 3b = -1 \quad \text{(方程1)}$
從第二個方程，我們可以得到：
$5 + a = a - b \Rightarrow b = -5 \quad \text{(方程2)}$
將方程2的解代入方程1，我們得到：
$2a + 15 = -1 \Rightarrow 2a = -16 \Rightarrow a = -8$
所以，$a = -8$，$b = -5$。
(2) 對于點$A(2a - b,5 + a)$和$B(2b - 1,-a + b)$關(guān)于$y$軸對稱的情況：
根據(jù)關(guān)于$y$軸對稱的點的坐標(biāo)性質(zhì)，縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，可以列出以下方程組：
$\begin{cases}2a - b = -(2b - 1), \\5 + a = -a + b.\end{cases}$解這個方程組，我們得到：
從第一個方程，我們可以得到：
$2a + b = 1 \quad \text{(方程3)}$
從第二個方程，我們可以得到：
$2a = b - 5 \quad \text{(方程4)}$
將方程4的解代入方程3，我們得到：
$b - 5 + b = 1 \Rightarrow 2b = 6 \Rightarrow b = 3$
將$b = 3$代入方程4，我們得到：
$2a = 3 - 5 \Rightarrow 2a = -2 \Rightarrow a = -1$
所以，$a = -1$，$b = 3$。
進(jìn)一步，我們可以求出$(4a + b)^{2026}$的值：
$(4a + b)^{2026} = (4(-1) + 3)^{2026} = (-1)^{2026} = 1$
【答案】：
(1) $a = -8$，$b = -5$；
(2) $(4a + b)^{2026} = 1$。
7. 在平面直角坐標(biāo)系中,有一個軸對稱圖形(只有一條對稱軸),其中點 $ A(1,-2) $ 和點 $ A'(-3,-2) $ 是這個圖形上的一組對稱點.若此圖形上另有一點 $ B(-\frac{5}{2},3) $,則點 $ B $ 的對稱點的坐標(biāo)是
$(\frac{1}{2},3)$
.
答案：【解析】：
本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系中關(guān)于對稱軸對稱的點的坐標(biāo)性質(zhì)。
由于點$A(1,-2)$和點$A'(-3,-2)$是關(guān)于某條對稱軸對稱的點，可以通過這兩點的中點來確定對稱軸的方程。
中點公式為：$(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$，
將$A$和$A'$的坐標(biāo)代入公式，得到中點坐標(biāo)為$(-1, -2)$。
由于$A$和$A'$的$y$坐標(biāo)相同，所以對稱軸是垂直于$x$軸的，且經(jīng)過中點$(-1, -2)$，因此對稱軸的方程是$x = -1$。
接下來，要找點$B(-\frac{5}{2},3)$關(guān)于對稱軸$x = -1$的對稱點。
設(shè)對稱點的坐標(biāo)為$(x, y)$，由于對稱軸垂直于$x$軸，所以對稱點的$y$坐標(biāo)與點$B$的$y$坐標(biāo)相同，即$y = 3$。
對于$x$坐標(biāo)，由于對稱軸是$x = -1$，點$B$的$x$坐標(biāo)是$-\frac{5}{2}$，所以對稱點的$x$坐標(biāo)可以通過下式求出：
$\frac{-\frac{5}{2} + x}{2} = -1$，
解這個方程，得到$x = \frac{1}{2}$。
因此，點$B$的對稱點的坐標(biāo)是$(\frac{1}{2},3)$。
【答案】：
$(\frac{1}{2},3)$。
