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答案：

(1)證明:如答圖，過點D作DE⊥AB,交BA的延長線于點E.
∵BD平分∠ABC,DH⊥BC,
∴DH=DE.
在Rt△ADE和Rt△CDH中,{DA=DC,DE=DH,
∴Rt△ADE≌Rt△CDH(HL),
∴∠C=∠DAE.
∵∠DAB+∠DAE=180°,
∴∠DAB+∠C=180°.
(2)在Rt△BDE和Rt△BDH中,{BD=BD,DE=DH,
∴Rt△BDE≌Rt△BDH(HL),
∴BE=BH.
∵Rt△ADE≌Rt△CDH,
∴AE=CH,
∴AB+BC=AB+BH+CH=BE+BH=2BH,
∴BH=$\frac{1}{2}$(AB+BC).

答案：

(1)證明:
∵∠ACB=∠DCE,
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,{CA=CB,∠ACD=∠BCE,CD=CE,
∴△ACD≌△BCE(SAS).
(2)如答圖，過點C作CM⊥AD于點M,CN⊥BE于點N.

∵△ACD≌△BCE,
∴∠CAM=∠CBN,
在△ACM和△BCN中,{∠CAM=∠CBN,∠AMC=∠BNC=90°,AC=BC,
∴△ACM≌△BCN,
∴CM=CN.
又CM⊥AH,CN⊥HE,
∴HC平分∠AHE;