7. 在$\triangle ABC$中,$AD平分\angle BAC$,交$BC于點(diǎn)D$,$DE\perp AB$,$DF\perp AC$,垂足分別為$E$,$F$,連接$EF$,$AD與EF交于點(diǎn)O$,則$AD與EF$的關(guān)系是
AD垂直平分EF
。
答案：AD垂直平分EF
8. 如圖,$DE\perp AB$,交$AB的延長線于點(diǎn)E$,$DF\perp AC于點(diǎn)F$,且$DB= DC$,$BE= CF$,求證：$AD是\angle BAC$的平分線。
答案：證明:
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°.在Rt△BDE和Rt△CDF中,{∠BDE = ∠CDF，∠BED = ∠CFD}
∴Rt△BDE≌Rt△CDF,
∴DE=DF,
∴AD是∠BAC的平分線.
9. 如圖,$\triangle ABC的外角\angle ACD的平分線CP與內(nèi)角\angle ABC的平分線BP交于點(diǎn)P$,連接$AP$。
(1)延長$BA至點(diǎn)E$,求證：$AP平分\angle CAE$；
(2)若$\angle BPC= 40^{\circ}$,求$\angle CAP$的度數(shù)。
(1)證明:如答圖,過點(diǎn)P作PN⊥BD于點(diǎn)N,PM⊥BE 于點(diǎn)M,PF⊥AC于點(diǎn)F.
∵∠ACD的平分線CP與∠ABC的平分線BP交于點(diǎn)P,
∴PM=PN,PN=PF,
∴PM=PF,而PA=PA,
∴Rt△AMP≌Rt△AFP(HL),
∴∠PAE=∠PAF,
∴AP平分∠CAE.
(2)解:設(shè)∠ABC=2α,∠ACD=2β.
∵∠ACD的平分線CP與∠ABC的平分線BP交于點(diǎn)P,
∴β=α+∠BPC,而β=α + ∠BAC,
∴∠BAC=2∠BPC=80°,
∴∠CAP=(180° - 80°)÷2 = 50°.
答案：
(1)證明:如答圖,過點(diǎn)P作PN⊥BD于點(diǎn)N,PM⊥BE 于點(diǎn)M,PF⊥AC于點(diǎn)F.
∵∠ACD的平分線CP與∠ABC的平分線BP交于點(diǎn)P,
∴PM=PN,PN=PF,
∴PM=PF,而PA=PA,
∴Rt△AMP≌Rt△AFP(HL),
∴∠PAE=∠PAF,
∴AP平分∠CAE.
(2)解:設(shè)∠ABC=2α,∠ACD=2β.
∵∠ACD的平分線CP與∠ABC的平分線BP交于點(diǎn)P,
∴β=α+∠BPC,而β=α + ∠BAC,
∴∠BAC=2∠BPC=80°,
∴∠CAP=(180° - 80°)÷2 = 50°.
10. 如圖,$AB= AC$,$AD= AE$,$\angle CAB= \angle EAD$,$F為BD和CE$的交點(diǎn)。
(1)求證：$BD= CE$；
(2)連接$AF$,求證：$FA平分\angle BFE$。
答案：證明:
(1)
∵∠CAB=∠EAD,
∴∠CAB+∠DAC=∠EAD+∠DAC,
∴∠DAB=∠EAC.又
∵AB=AC,AD=AE,
∴△DAB≌△EAC,
∴BD=CE;
(2)過點(diǎn)A作AN⊥EC于點(diǎn)N,過點(diǎn)A作AM⊥BD于點(diǎn)M,如答圖，
∴$S_{△DAB}$ = $\frac{1}{2}$×DB×AM,$S_{△EAC}$ = $\frac{1}{2}$×EC×AN,由
(1)已證明△DAB≌△EAC,BD=CE,
∴S△DAB=S△EAC,
∴$\frac{1}{2}$×DB×AM = $\frac{1}{2}$×EC×AN,
∴AM=AN.在Rt△ANF和Rt△AMF中,{AF = AF，AN = AM}
∴Rt△ANF≌Rt△AMF(HL),
∴∠AFN=∠AFM,
∴FA平分∠BFE;
