1. 已知$\triangle ABC$,兩個完全一樣的三角板如圖方式擺放,它們的一組對應直角邊分別在$AB$,$AC$上,且這組對應直角邊所對的頂點重合于點$M$,點$M$一定在(
A
)
A.$\angle A$的平分線上
B.$AC$邊的高上
C.$BC$邊的垂直平分線上
D.$AB$邊的中線上
答案：A
解析：
過點$M$作$MD \perp AB$于點$D$，$ME \perp AC$于點$E$。
因為兩個三角板完全一樣，且一組對應直角邊分別在$AB$，$AC$上，對應直角邊所對頂點重合于$M$，所以$MD = ME$。
根據(jù)角平分線的判定定理，到角兩邊距離相等的點在角的平分線上，故點$M$在$\angle A$的平分線上。
A
2. 如圖,在$\triangle ABC$中,$O是\triangle ABC$內一點,且點$O到\triangle ABC$三邊的距離相等,若$\angle A= 70^{\circ}$,則$\angle BOC$的度數(shù)為(
A
)
A.$125^{\circ}$
B.$135^{\circ}$
C.$55^{\circ}$
D.$35^{\circ}$
答案：A
解析：
∵點O到△ABC三邊的距離相等，
∴O是△ABC的內心，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=55°，
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=125°
A
3. 如圖,$PC\perp OA于點C$,$PD\perp OB于點D$,$PC= PD$,$Q是OP$上一點,$QE\perp OA于點E$,$QF\perp OB于點F$。求證：$QE= QF$。
答案：證明:
∵PC⊥OA,PD⊥OB,PC=PD,
∴∠AOP=∠BOP.
∵QE⊥OA,QF⊥OB,
∴QE=QF.
4. 如圖,在$\triangle ABC$中,$P$,$O分別是BC$,$AC$上的點,作$PR\perp AB$,$PS\perp AC$,垂足分別是$R$,$S$,若$AO= PO$,$PR= PS$,有三個結論：①$AS= AR$,②$OP// AR$,③$\triangle BRP\cong \triangle CSP$,其中正確的是(
C
)
A.①③
B.②③
C.①②
D.①②③
答案：C
解析：
連接AP。
∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴AP平分∠BAC，∠ARP=∠ASP=90°。
在Rt△ARP和Rt△ASP中，
$\left\{\begin{array}{l} AP=AP\\ PR=PS\end{array}\right.$
∴Rt△ARP≌Rt△ASP（HL），
∴AS=AR，①正確。
∵AO=PO，
∴∠OAP=∠OPA。
∵AP平分∠BAC，
∴∠OAP=∠RAP，
∴∠OPA=∠RAP，
∴OP//AR，②正確。
△BRP與△CSP中，僅有∠BRP=∠CSP=90°，PR=PS，無法證明全等，③錯誤。
綜上，正確的是①②。
C
5. 如圖,$\triangle ABC$中,$\angle ABC= 48^{\circ}$,$\angle ACB= 84^{\circ}$,點$D$,$E分別在BA$,$BC$的延長線上,$BP平分\angle ABC$,$CP平分\angle ACE$,連接$AP$,則$\angle PAC$的度數(shù)為______
66°
。
答案：66°
解析：
在$\triangle ABC$中，$\angle ABC=48^\circ$，$\angle ACB=84^\circ$，則$\angle BAC=180^\circ-48^\circ-84^\circ=48^\circ$。
$\angle ACE=180^\circ-\angle ACB=180^\circ-84^\circ=96^\circ$。
因為$CP$平分$\angle ACE$，所以$\angle ACP=\frac{1}{2}\angle ACE=\frac{1}{2}×96^\circ=48^\circ$。
$BP$平分$\angle ABC$，則$\angle ABP=\frac{1}{2}\angle ABC=24^\circ$。
設$\angle PAC=x$，則$\angle BAP=\angle BAC+\angle PAC=48^\circ+x$。
在$\triangle ABP$中，$\angle APB=180^\circ-\angle ABP-\angle BAP=180^\circ-24^\circ-(48^\circ+x)=108^\circ-x$。
在$\triangle APC$中，$\angle APC=180^\circ-\angle PAC-\angle ACP=180^\circ-x-48^\circ=132^\circ-x$。
因為點$D$在$BA$延長線上，所以$\angle APB+\angle APC=180^\circ$，即$(108^\circ-x)+(132^\circ-x)=180^\circ$，解得$x=30^\circ$。
$30^\circ$
6. 如圖,已知$EF\perp CD$,$EF\perp AB$,$MN\perp AC$,$M是EF$的中點,只需添加
ME=MN(答案不唯一)
,就可使$CM$,$AM分別為\angle ACD和\angle CAB$的平分線。
答案：ME=MN(答案不唯一)
