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1. 如圖,已知點(diǎn)P,D,E分別在OC,OA,OB上,有下列推理:
①∵OC平分∠AOB,∴PD= PE;
②∵OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD= PE;
③∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD= PE.
其中正確的有 (

)
A.0個(gè)
B.1個(gè)
C.2個(gè)
D.3個(gè)

答案：B

解析：

①錯(cuò)誤，OC平分∠AOB，但PD、PE不一定是角平分線上點(diǎn)到兩邊的距離，PD與PE不一定相等；
②正確，OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，由角平分線的性質(zhì)定理可得PD=PE；
③錯(cuò)誤，PD⊥OA，PE⊥OB，但點(diǎn)P不一定在∠AOB的平分線上，PD與PE不一定相等。
正確的有1個(gè)。
B

2. 如圖,AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB于點(diǎn)E,$S_{△ABC}= 9,DE= 2,AB= 5$,則AC的長(zhǎng)是 (

)
A.2
B.3
C.4
D.5

答案：C

解析：

過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，
∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE=2，
$∵S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}，$
∴9= $\frac{1}{2}× AB× DE+\frac{1}{2}× AC× DF$，
即9= $\frac{1}{2}×5×2+\frac{1}{2}× AC×2$，
解得AC=4。
C

3. 如圖,△ABC的三邊AB,BC,CA的長(zhǎng)分別是20,30,40,其三條角平分線將△ABC分為三個(gè)三角形,則$S_{△ABO}:S_{△BCO}:S_{△CAO}$等于 (

)

A.1:1:1
B.1:2:3
C.2:3:4
D.3:4:5

答案：C

解析：

∵點(diǎn)O是△ABC三條角平分線的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)O到AB、BC、CA的距離相等，設(shè)為h。
∵AB=20，BC=30，CA=40，
∴$S_{△ABO}=\frac{1}{2}×AB×h=\frac{1}{2}×20×h=10h$，
$S_{△BCO}=\frac{1}{2}×BC×h=\frac{1}{2}×30×h=15h$，
$S_{△CAO}=\frac{1}{2}×CA×h=\frac{1}{2}×40×h=20h$，
∴$S_{△ABO}:S_{△BCO}:S_{△CAO}=10h:15h:20h=2:3:4$。
C

4. 如圖,在△ABC中,以點(diǎn)C為圓心,任意長(zhǎng)為半徑作弧,分別交AC,BC于點(diǎn)D,E;分別以點(diǎn)D,E為圓心,大于$\frac{1}{2}DE$的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧交于點(diǎn)F;作射線CF交AB于點(diǎn)G.若AC= 9,BC= 6,△BCG的面積為8,則△ACG的面積為_(kāi)_____

答案：12

解析：

由作圖過(guò)程可知，CF是∠ACB的平分線，所以點(diǎn)G到AC和BC的距離相等，設(shè)該距離為h。
因?yàn)椤鰾CG的面積為8，BC=6，所以$\frac{1}{2} × BC × h = 8$，即$\frac{1}{2} × 6 × h = 8$，解得$h = \frac{8}{3}$。
△ACG的面積為$\frac{1}{2} × AC × h = \frac{1}{2} × 9 × \frac{8}{3} = 12$。
12

5. 如圖,∠B= ∠C= 90°,E為BC上一點(diǎn),AE平分∠BAD,DE平分∠CDA.
(1)求∠AED的度數(shù);(2)求證:E是BC的中點(diǎn).

答案：

(1)解:
∵∠B=∠C=90°,
∴DC//AB,
∴∠BAD+∠CDA=180°.
∵AE平分∠BAD,DE平分∠CDA,
∴∠EAD=$\frac{1}{2}$∠BAD,∠EDA=$\frac{1}{2}$∠CDA,
∴∠EAD+∠EDA=$\frac{1}{2}$(∠BAD+∠CDA)=90°,
∴∠AED=180°?(∠EAD+∠EDA)=90°.
(2)證明:過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F,如答圖.
∵AE平分∠BAD,∠B=90°,EF⊥AD,
∴EF=EB.
∵DE平分∠CDA,∠C=90°,EF⊥AD,
∴EF=EC.
∴EB=EC,即E是BC的中點(diǎn).

6. 如圖,△ABC中,AD為∠BAC的平分線,作BD⊥AD于點(diǎn)D,△ABC的面積為8,則△ACD的面積為 (

)
A.3
B.4
C.5
D.6

答案：B

解析：

延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAD。
∵BD⊥AD，
∴∠ADB=∠ADE=90°。
在△ABD和△AED中，
∠BAD=∠EAD，AD=AD，∠ADB=∠ADE，
∴△ABD≌△AED(ASA)，
∴BD=ED，S△ABD=S△AED。
∵BD=ED，
∴點(diǎn)D為BE中點(diǎn)，
$∴S_{△BDC}=S_{△EDC}（等底同高）。$
$設(shè)S_{△ABD}=S_{△AED}=x，S_{△BDC}=S_{△EDC}=y，$
$則S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△AED}+S_{△BDC}+S_{△EDC}=2x+2y=8，$
∴x+y=4。
$∵S_{△ACD}=S_{△AED}+S_{△EDC}=x+y=4。$
B

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