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答案：
4.證明:如答圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AC于點(diǎn)H，
∴∠EHC=∠EHF=90°。
∵AB⊥AC，
∴∠DAC=90°，∠ADC+∠ACD=90°。
∵CE⊥CD，
∴∠ECH+∠ACD=90°，
∴∠ECH=∠CDA。
在△HEC和△ACD中，∠EHC=∠CAD=90°，∠ECH=∠CDA，CE=DC，
∴△HEC≌△ACD(AAS)，
∴EH=AC。
∵AB=AC，
∴EH=AB。
在△ABF和△HEF中，∠BAF=∠EHF=90°，∠AFB=∠HFE，BA=EH，
∴△ABF≌△HEF(AAS)，
∴EF=BF，
∴F是BE的中點(diǎn)。

答案：
5.證明:
(1)過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，如答圖，
∴∠EFC=∠DHC=90°。
在△AEF和△BDH中，∠AFE=∠BHD=90°，∠A=∠DBH，AE=BD，
∴△AEF≌△BDH(AAS)，
∴EF=DH。
在△EFC和△DHC中，∠FCE=∠HCD，∠EFC=∠DHC=90°，EF=DH，
∴△EFC≌△DHC(AAS)，
∴CE=CD，
∴C是DE的中點(diǎn)。

(2)由
(1)得，△AEF≌△BDH，△EFC≌△DHC，
∴AF=BH，CF=CH，
∴AB+BF=BF+FH，F(xiàn)H=2FC，
∴AB=FH=2CF。

答案：
6.證明:
(1)在△ABC中，∠B=60°，∠C=80°，
∴∠BAC=180°?60°?80°=40°。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=20°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=60°+20°=80°，
∵∠C=80°，
∴∠C=∠ADC，
∴AD=AC。
(2)如答圖，過(guò)點(diǎn)A作AF//BC交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，
∴∠F=∠DBC，∠FAD=∠C，
由題意知AD=CD，
∴△ADF≌△CDB(AAS)，
∴AF=BC，
∵AP=BC，
∴AP=AF，
∴∠APF=∠F，
∵∠APF=∠BPE，∠F=∠DBC，
∴∠BPE=∠PBE，
∴PE=BE。