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1.【閱讀理解】
(1)如圖①,在$\triangle ABC$中,若$AB = 9$,$AC = 5$,求$BC邊上的中線AD$的取值范圍.可以用如下方法：延長(zhǎng)$AD至點(diǎn)E$,使$DE = AD$,連接$BE$.
在$\triangle ABE$中,利用三角形的三邊關(guān)系可得$AD$的取值范圍是____；
【問(wèn)題解決】
(2)如圖②,在$\triangle ABC$中,$D是BC$邊的中點(diǎn),$DE\perp DF于點(diǎn)D$,$DE交AB于點(diǎn)E$,$DF交AC于點(diǎn)F$,連接$EF$.求證：$BE + CF＞EF$.

答案：
1.
(1)2＜AD＜7
(2)證明:如答圖，延長(zhǎng)FD至點(diǎn)N,使DN=DF,連接BN,EN.
在△FDC和△NDB中，F(xiàn)D=ND，∠FDC=∠NDB，CD=BD，
∴△FDC≌△NDB(SAS)，
∴FC=BN。
∵DF=DN，DE⊥DF，
∴EF=EN。
在△EBN中，BE+BN＞EN，
∴BE+CF＞EF。

2. 如圖,在$\triangle ABC和\triangle ADE$中,$AB = AC$,$AD = AE$,$\angle BAC + \angle EAD = 180^{\circ}$,連接$BE$,$CD$,$F為BE$的中點(diǎn),連接$AF$. 求證：$CD = 2AF$.

答案：
2.證明:延長(zhǎng)AF至點(diǎn)G,使FG=AF,連接BG,如答圖。
∵F為BE的中點(diǎn)，
∴EF=BF。
在△AFE和△GFB中，AF=GF，∠AFE=∠GFB，EF=BF，
∴△AFE≌△GFB(SAS)。
∴∠EAF=∠G，AE=BG，
∴AE//BG，
∴∠GBA+∠BAE=180°。
∵∠BAC+∠EAD=180°，
∴∠DAC+∠BAE=180°，
∴∠GBA=∠DAC。
∵AD=AE，
∴BG=AD。
在△GBA和△DAC中，AB=CA，∠GBA=∠DAC，BG=AD，
∴△GBA≌△DAC(SAS)，
∴AG=CD。
∵AG=2AF，
∴CD=2AF。

3. 如圖,$AD是\triangle ABC$的中線,點(diǎn)$E在BC$的延長(zhǎng)線上,$CE = AB$,$\angle BAC = \angle BCA$,連接$AE$. 求證：$AE = 2AD$.

答案：
3.證明:如答圖，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)M,使DM=AD,連接CM。
∵AD是△ABC的中線，
∴DB=CD。
在△ABD和△MCD中，BD=CD，∠ADB=∠MDC，AD=MD，
∴△ABD≌△MCD(SAS)，
∴MC=AB，∠B=∠MCD。
∵AB=CE，
∴CM=CE。
∵∠BAC=∠BCA，
∴∠B+∠BAC=∠MCD+∠BCA，即∠ACE=∠ACM。
在△ACM和△ACE中，AC=AC，∠ACM=∠ACE，CM=CE，
∴△ACM≌△ACE(SAS)，
∴AM=AE。
∵AM=2AD，
∴AE=2AD。

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