1.(2024春·江陰期末)下列長(zhǎng)度的三條線段能組成三角形的是 (
C
)
A.2,4,7
B.3,5,8
C.5,12,13
D.1,7,9
答案：C
解析：
A. $2 + 4 = 6 ＜ 7$，不能組成三角形；
B. $3 + 5 = 8$，不能組成三角形；
C. $5 + 12 = 17 ＞ 13$，$5 + 13 = 18 ＞ 12$，$12 + 13 = 25 ＞ 5$，能組成三角形；
D. $1 + 7 = 8 ＜ 9$，不能組成三角形；
C
2.(2024秋·南充期末)如圖,人字梯中間一般會(huì)設(shè)計(jì)一“拉桿”,這樣做所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理是(
A
)
A.三角形的穩(wěn)定性
B.兩點(diǎn)確定一條直線
C.垂線段最短
D.兩點(diǎn)之間線段最短
答案：A
3.(2024秋·臨澧縣期末)已知在△ABC中,AB= 2,BC= 6,則邊AC的長(zhǎng)可能是 (
C
)
A.3
B.4
C.5
D.8
答案：C
解析：
在△ABC中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。
已知AB=2，BC=6，所以BC-AB＜AC＜BC+AB，即6-2＜AC＜6+2，4＜AC＜8。
選項(xiàng)中符合條件的是5。
C
4.用兩根長(zhǎng)度分別為3 cm和5 cm的細(xì)木條做一個(gè)三角形框架,需要將其中一根木條分為兩段,如果不考慮損耗和接頭部分,那么可以分成兩段的是 (
B
)
A.3 cm長(zhǎng)的木條
B.5 cm長(zhǎng)的木條
C.兩根都可以
D.兩根都不行
答案：B
解析：
若分3cm長(zhǎng)的木條，設(shè)分成的兩段為$x\,\text{cm}$和$(3 - x)\,\text{cm}$，則三角形三邊長(zhǎng)為$x$，$3 - x$，$5$。根據(jù)三角形三邊關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，可得$x + (3 - x) ＞ 5$，即$3 ＞ 5$，不成立。
若分5cm長(zhǎng)的木條，設(shè)分成的兩段為$y\,\text{cm}$和$(5 - y)\,\text{cm}$，則三角形三邊長(zhǎng)為$y$，$5 - y$，$3$。根據(jù)三角形三邊關(guān)系：
$y + (5 - y) ＞ 3$，即$5 ＞ 3$，成立；
$y + 3 ＞ 5 - y$，得$2y ＞ 2$，$y ＞ 1$；
$5 - y + 3 ＞ y$，得$8 ＞ 2y$，$y ＜ 4$。
當(dāng)$1 ＜ y ＜ 4$時(shí)，滿足條件，如$y = 2$，則三邊長(zhǎng)為$2\,\text{cm}$，$3\,\text{cm}$，$3\,\text{cm}$，可構(gòu)成三角形。
B
5.(2014·包頭)長(zhǎng)為9,6,5,4的四根木條,選其中三根組成三角形,選法有 (
C
)
A.1種
B.2種
C.3種
D.4種
答案：C
解析：
選其中三根組成三角形，可能的選法及判斷：
1. 9,6,5：5+6=11＞9，6+9=15＞5，5+9=14＞6，能組成三角形；
2. 9,6,4：4+6=10＞9，6+9=15＞4，4+9=13＞6，能組成三角形；
3. 9,5,4：4+5=9，不滿足三角形兩邊之和大于第三邊，不能組成三角形；
4. 6,5,4：4+5=9＞6，5+6=11＞4，4+6=10＞5，能組成三角形。
綜上，能組成三角形的選法有3種。
C
6.(2024春·寧德期末)如圖,①②是兩根細(xì)直木棒,現(xiàn)需要將其中一根截成兩段,首尾相接搭成一個(gè)三角形框架,則下列說(shuō)法正確的是 (
D
)
A.截①②都可以
B.截①②都不可以
C.只有截①可以
D.只有截②可以
答案：D
7.小李家有一個(gè)六邊形置物架已經(jīng)變形(如圖),需通過(guò)增加木條使其固定,工人師傅至少需要加固木條的數(shù)量為 (
B
)
A.2
B.3
C.4
D.5
答案：B
解析：
要使六邊形固定，需將其分割成三角形。根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，連接其他不相鄰頂點(diǎn)，可將$n$邊形分成$(n - 2)$個(gè)三角形，此時(shí)需要$(n - 3)$條線段。六邊形中$n=6$，則至少需要加固木條數(shù)量為$6 - 3=3$。
B
8.已知a,b,c是三角形的三邊長(zhǎng),那么代數(shù)式$a^{2}-2ab+b^{2}-c^{2}$的值 (
C
)
A.大于零
B.等于零
C.小于零
D.不能確定
答案：C
解析：
$a^{2}-2ab+b^{2}-c^{2}=(a-b)^{2}-c^{2}=(a-b+c)(a-b-c)$，
因?yàn)?a,b,c$是三角形的三邊長(zhǎng)，
所以$a+c ＞ b$，$b+c ＞ a$，
即$a-b+c ＞ 0$，$a-b-c ＜ 0$，
所以$(a-b+c)(a-b-c) ＜ 0$，
C
9.如圖,在△ABC中,AB= 10 cm,AC= 6 cm,D是BC的中點(diǎn),E點(diǎn)在邊AB上,△BDE與四邊形ACDE的周長(zhǎng)相等.
(1)求線段AE的長(zhǎng);
(2)若圖中所有線段長(zhǎng)度的和是53 cm,求$BC+\frac{1}{2}DE$的值.
答案：9.解:
(1)
∵△BDE與四邊形ACDE的周長(zhǎng)相等，
∴BD+DE+BE=AC+AE+CD+DE.
∵BD=DC,
∴BE=AE+AC.
設(shè)AE=x cm,則BE=(10-x)cm,
由題意得,10-x=x+6,
解得x=2,
∴AE=2 cm.
(2)題圖中共有8條線段，
它們的和為AE+EB+AB+AC+DE+BD+CD+BC
=2AB+AC+2BC+DE=53(cm).
∴2BC+DE=53-(2AB+AC)=53-(2×10+6)=27(cm),
∴BC+$\frac{1}{2}$DE=$\frac{27}{2}$(cm).
