3. 國(guó)慶節(jié)前,某超市為了滿足人們的購(gòu)物需求,計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果進(jìn)行銷售. 經(jīng)了解,乙種水果的進(jìn)價(jià)比甲種水果的進(jìn)價(jià)貴 5 元/千克,售價(jià)如下表所示：
|水果種類|甲|乙|
|售價(jià)/(元/千克)|30|36|
已知用 1200 元購(gòu)進(jìn)甲種水果的質(zhì)量與用 1500 元購(gòu)進(jìn)乙種水果的質(zhì)量相同.
(1) 求甲、乙兩種水果的進(jìn)價(jià)；
(2) 若超市購(gòu)進(jìn)這兩種水果共 150 千克,其中甲種水果的質(zhì)量不低于乙種水果質(zhì)量的 2 倍,則超市應(yīng)如何進(jìn)貨才能獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？
答案：
(1)設(shè)甲種水果的進(jìn)價(jià)為x元/千克,則乙種水果的進(jìn)價(jià)為(x+5)元/千克.
由題意得$\frac{1200}{x}=\frac{1500}{x+5}$,解得x=20.
經(jīng)檢驗(yàn),x=20是原方程的解,且符合題意,則x+5=25.
答:甲種水果的進(jìn)價(jià)為20元/千克,乙種水果的進(jìn)價(jià)為25元/千克.
(2)設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種水果m千克,則購(gòu)進(jìn)乙種水果(150-m)千克,利潤(rùn)為y元.
由題意得y=(30-20)m+(36-25)(150-m)=-m+1650.
∵甲種水果的質(zhì)量不低于乙種水果質(zhì)量的2倍,
∴m≥2(150-m),解得m≥100,
∴當(dāng)m=100時(shí),y取得最大值,$y_{最大}=-100+1650=1550$,則150-m=50.
答:購(gòu)進(jìn)甲種水果100千克,乙種水果50千克才能獲得最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)為1550元.
4. 某工廠急需生產(chǎn)一批健身器械共 500 臺(tái),送往銷售點(diǎn)出售. 當(dāng)生產(chǎn) 150 臺(tái)后,接到通知,要求提前完成任務(wù),因而接下來(lái)的時(shí)間,每天生產(chǎn)的臺(tái)數(shù)提高到原來(lái)的 1.4 倍,一共用 8 天剛好完成任務(wù).
(1) 原來(lái)每天生產(chǎn)健身器械多少臺(tái)？
(2) 某運(yùn)輸公司的大貨車數(shù)量不足 10 輛,小貨車數(shù)量充足,計(jì)劃同時(shí)使用大、小貨車一次完成這批健身器械的運(yùn)輸. 已知每輛大貨車一次可以運(yùn)輸健身器械 50 臺(tái),每輛大貨車需要的費(fèi)用為 1500 元；每輛小貨車一次可以運(yùn)輸健身器械 20 臺(tái),每輛小貨車需要的費(fèi)用為 800 元. 在運(yùn)輸總費(fèi)用不超過(guò) 16000 元的前提下,請(qǐng)寫出所有符合題意的運(yùn)輸方案. 哪種運(yùn)輸方案的費(fèi)用最低,最低運(yùn)輸費(fèi)用是多少？
答案：
(1)設(shè)原來(lái)每天生產(chǎn)健身器械x臺(tái),則提高工作效率后每天生產(chǎn)健身器械1.4x臺(tái).
依題意得$\frac{150}{x}+\frac{500-150}{1.4x}=8$,解得x=50.
經(jīng)檢驗(yàn),x=50是原方程的解,且符合題意.
答:原來(lái)每天生產(chǎn)健身器械50臺(tái).
(2)設(shè)同時(shí)使用m輛大貨車,n輛小貨車.
∵同時(shí)使用大、小貨車一次完成這批健身器械的運(yùn)輸,
∴50m+20n≥500,$\therefore n\geq 25-\frac{5}{2}m$.
又
∵該運(yùn)輸公司的大貨車數(shù)量不足10輛,且運(yùn)輸總費(fèi)用不超過(guò)16000元,
$\therefore \left\{\begin{array}{l} m＜10,\\ 1500m+800n\leq 16000,\end{array}\right. $
即$\left\{\begin{array}{l} m＜10,\\ 1500m+800(25-\frac{5}{2}m)\leq 16000,\end{array}\right. $
解得8≤m＜10.
又
∵m為整數(shù),
∴m可以為8,9.
當(dāng)m=8時(shí),$n\geq 25-\frac{5}{2}m=25-\frac{5}{2}× 8=5$.
當(dāng)m=9時(shí),$n\geq 25-\frac{5}{2}m=25-\frac{5}{2}× 9=\frac{5}{2}$,
又
∵n為整數(shù),
∴n的最小值為3.
∴共有2種運(yùn)輸方案.
方案1:使用8輛大貨車,5輛小貨車.
方案2:使用9輛大貨車,3輛小貨車.
方案1所需運(yùn)輸費(fèi)用為1500×8+800×5=16000(元),
方案2所需運(yùn)輸費(fèi)用為1500×9+800×3=15900(元).
∵16000＞15900,
∴運(yùn)輸方案2的費(fèi)用最低,最低運(yùn)輸費(fèi)用是15900元.
