7. 若關(guān)于 $ x $ 的方程 $ \frac{x + m}{x - 2} - 3 = \frac{x - 1}{2 - x} $ 的解為非負(fù)數(shù),則 $ m $ 的取值范圍是
m≥-5且m≠-3
。
答案：m≥-5且m≠-3
解析：
去分母，得$x + m - 3(x - 2)=-(x - 1)$
去括號，得$x + m - 3x + 6=-x + 1$
移項、合并同類項，得$-x=-m - 5$
系數(shù)化為1，得$x=m + 5$
因為方程的解為非負(fù)數(shù)，所以$x\geq0$，即$m + 5\geq0$，解得$m\geq-5$
又因為分母不能為0，所以$x - 2\neq0$，即$m + 5 - 2\neq0$，解得$m\neq-3$
綜上，$m$的取值范圍是$m\geq-5$且$m\neq-3$
8. 若關(guān)于 $ x $ 的方程 $ \frac{2m + x}{x - 3} - 1 = \frac{2}{x} $ 無解,則 $ m $ 的值是
$-\frac{1}{2}$或$-\frac{3}{2}$
。
答案：$-\frac{1}{2}$或$-\frac{3}{2}$
解析：
方程兩邊同乘$x(x - 3)$，得$x(2m + x) - x(x - 3) = 2(x - 3)$
展開并化簡：$2mx + x^2 - x^2 + 3x = 2x - 6$，即$(2m + 1)x = -6$
情況1：當(dāng)$2m + 1 = 0$時，方程無解，此時$m = -\frac{1}{2}$
情況2：當(dāng)$2m + 1 \neq 0$時，$x = -\frac{6}{2m + 1}$
原方程無解，即$x(x - 3) = 0$，解得$x = 0$或$x = 3$
若$x = 0$，則$-\frac{6}{2m + 1} = 0$，無解
若$x = 3$，則$-\frac{6}{2m + 1} = 3$，解得$m = -\frac{3}{2}$
綜上，$m$的值為$-\frac{1}{2}$或$-\frac{3}{2}$
9. 若關(guān)于 $ x $ 的方程 $ \frac{ax + 3}{x - 1} + 1 = \frac{3x - 4}{1 - x} $ 的解為正整數(shù),則滿足條件的整數(shù) $ a $ 的值為
-3
。
答案：-3
解析：
方程兩邊同乘$x - 1$，得$ax + 3 + x - 1 = -(3x - 4)$，
整理得$(a + 4)x = 2$，
解得$x = \frac{2}{a + 4}$（$a + 4 \neq 0$），
因為方程的解為正整數(shù)，所以$\frac{2}{a + 4}$為正整數(shù)，
則$a + 4$是$2$的正因數(shù)，即$a + 4 = 1$或$a + 4 = 2$，
當(dāng)$a + 4 = 1$時，$a = -3$，此時$x = 2$，經(jīng)檢驗$x = 2$是原方程的解；
當(dāng)$a + 4 = 2$時，$a = -2$，此時$x = 1$，經(jīng)檢驗$x = 1$是增根，舍去，
所以滿足條件的整數(shù)$a$的值為$-3$。
$-3$
10. 解下列方程：
(1) $ \frac{x}{x + 2} + \frac{8}{4 - x^2} = \frac{x + 2}{x - 2} $； (2) $ \frac{x}{x - 2} - 1 = \frac{4}{x^2 - 4x + 4} $；
(3) $ \frac{7}{x^2 - x} - \frac{1}{x^2 + x} = \frac{3}{x^2 - 1} $； (4) $ \frac{1}{x^2 - x} = \frac{1}{2x - x^2} - \frac{4}{x^2 - 3x + 2} $。
答案：解:
(1)方程兩邊乘(x+2)(x-2),得
x(x-2)-8=(x+2)2,解得x=-2.
檢驗:當(dāng)x=-2時,(x+2)(x-2)=0.
因此x=-2不是原分式方程的解.
∴原分式方程無解.
(2)方程兩邊乘(x-2)2,得x(x-2)-(x-2)2=4,
解得x=4.
檢驗:當(dāng)x=4時,(x-2)2≠0.
∴原分式方程的解為x=4.
(3)原方程可化為$\frac{7}{x(x-1)}-\frac{1}{x(x+1)}=\frac{3}{(x+1)(x-1)}$,
方程兩邊乘x(x-1)(x+1),得7(x+1)-(x-1)=3x,
解得x=$-\frac{8}{3}$.
檢驗:當(dāng)x=$-\frac{8}{3}$時,x(x-1)(x+1)≠0.
∴原分式方程的解為x=$-\frac{8}{3}$.
(4)原方程可化為$\frac{1}{x(x-1)}=\frac{-1}{x(x-2)}-\frac{4}{(x-1)(x-2)}$,
方程兩邊乘x(x-1)(x-2),得x-2=-(x-1)-4x,
解得x=$\frac{1}{2}$.
檢驗:當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時,x(x-1)(x-2)≠0.
∴原分式方程的解為x=$\frac{1}{2}$.
11. 若關(guān)于 $ x $ 的分式方程 $ \frac{mx}{x - 2} = \frac{4}{x - 2} + 1 $ 無解,求 $ m $ 的值。
答案：解:去分母,得mx=4+x-2,
整理,得(m-1)x=2.
∵關(guān)于x的分式方程$\frac{mx}{x-2}=\frac{4}{x-2}+1$無解,
∴m-1=0或x=2.
當(dāng)x=2時,2(m-1)=2,解得m=2;
當(dāng)m-1=0時,m=1.
綜上可知,m的值為2或1.
12. (2024 春·滁州期末)已知關(guān)于 $ x $ 的分式方程 $ \frac{4x - a}{x - 2} - \frac{2a}{2 - x} = 5 $。
(1) 當(dāng) $ a = -3 $ 時,求方程的根；
(2) 若該方程的解是非負(fù)數(shù),且滿足 $ a - 1 \leq 0 $,求所有滿足條件的偶數(shù) $ a $ 的值之和。
答案：解:
(1)把a=-3代入,得$\frac{4x+3}{x-2}-\frac{6}{x-2}=5$,
去分母,得4x+3-6=5x-10,
解得x=7.
檢驗:當(dāng)x=7時,x-2≠0.
∴原分式方程的解為x=7.
(2)將分式方程整理,得$\frac{4x-a}{x-2}+\frac{2a}{x-2}=5$,
去分母,得4x-a+2a=5x-10,
解得x=a+10.
∵該方程的解是非負(fù)數(shù),且滿足a-1≤0,
∴$\begin{cases}a+10\geq0,\\a+10\neq2,\\a-1\leq0,\end{cases}$
解得-10≤a≤1且a≠-8.
∴偶數(shù)a的值為-10,-6,-4,-2,0,
∴所有滿足條件的偶數(shù)a的值之和為-10+(-6)+(-4)+(-2)+0=-22.
