8. 不改變分式 $\frac{0.5 x-1}{0.3 x+2}$ 的值, 把它的分子和分母中各項的系數(shù)都化為整數(shù), 結(jié)果為 (
D
)
A.$\frac{0.5 x-1}{3 x+2}$
B.$\frac{5 x-10}{0.3 x+2}$
C.$\frac{5 x-1}{3 x+2}$
D.$\frac{5 x-10}{3 x+20}$
答案：D
解析：
要將分式$\frac{0.5x - 1}{0.3x + 2}$的分子和分母中各項的系數(shù)化為整數(shù)，需找到分子、分母中所有小數(shù)的最小公倍數(shù)作為公分母。分子中$0.5$是一位小數(shù)，分母中$0.3$是一位小數(shù)，故最小公倍數(shù)為$10$。
分子、分母同時乘以$10$：
$\begin{aligned}\frac{(0.5x - 1) × 10}{(0.3x + 2) × 10}&=\frac{0.5x × 10 - 1 × 10}{0.3x × 10 + 2 × 10}\\&=\frac{5x - 10}{3x + 20}\end{aligned}$
結(jié)果為$\frac{5x - 10}{3x + 20}$。
D
9. (2024 - 通州區(qū)期末) 若 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}= 2$, 則 $\frac{2 x-x y+2 y}{3 x+5 x y+3 y}=$
$\frac {3}{11}$
答案：$\frac {3}{11}$
解析：
由$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2$，得$\frac{x+y}{xy}=2$，即$x + y = 2xy$。
$\frac{2x - xy + 2y}{3x + 5xy + 3y}=\frac{2(x + y)-xy}{3(x + y)+5xy}$，將$x + y = 2xy$代入，得$\frac{2×2xy - xy}{3×2xy + 5xy}=\frac{4xy - xy}{6xy + 5xy}=\frac{3xy}{11xy}=\frac{3}{11}$。
$\frac{3}{11}$
10. 不改變分式的值, 把下列各式中分子和分母的各項系數(shù)化為整數(shù):
(1) $\frac{0.2 x-0.5 y}{0.7 x+0.3 y}=$
$\frac {2x-5y}{7x+3y}$
(2) $\frac{\frac{1}{2} a-\frac{2}{3} b}{a}=$
$\frac {3a-4b}{6a}$
(3) $\frac{x+\frac{1}{3} y}{\frac{2}{5} x-\frac{1}{2} y}=$
$\frac {30x+10y}{12x-15y}$
答案：
(1)$\frac {2x-5y}{7x+3y}$
(2)$\frac {3a-4b}{6a}$
(3)$\frac {30x+10y}{12x-15y}$
11. 不改變分式的值, 使下列分式的分子與分母均按 $x$ 降冪排列, 并使分子、分母的最高次項的系數(shù)都是正數(shù).
(1) $\frac{-x^2-3}{4-x}$;
(2) $\frac{x+4}{x-3-x^2}$;
(3) $-\frac{x^2-x+2}{3 x^2-5 x^3-2}$.
答案：解:
(1)$\frac {x^{2}+3}{x-4}$.
(2)$-\frac {x+4}{x^{2}-x+3}$.
(3)$\frac {x^{2}-x+2}{5x^{3}-3x^{2}+2}.$
12. 不改變分式的值, 使下列分式的分子和分母都不含“一”號.
(1) $\frac{-3 y}{2 x}$;
(2) $\frac{4 b}{-3 a}$;
(3) $\frac{-5 b}{-3 a}$;
(4) $-\frac{-2 x}{y}$.
答案：解:
(1)原式$=-\frac {3y}{2x}$.
(2)原式$=-\frac {4b}{3a}.$
(3)原式$=\frac {5b}{3a}$.
(4)原式$=\frac {2x}{y}.$
13. (2024 春?景德鎮(zhèn)期末) 已知 $b＞a＞0$.
(1) 分式 $\frac{a}$ 的分子、分母都加 1 , 所得的分式 $\frac{a+1}{b+1}$ 的值
增大
(填“增大”“不變”或“減小”);
(2) 將分式 $\frac{a}$ 的分子、分母都加 $c$, 所得的分式 $\frac{a+c}{b+c}$ 的值會如何變化? 說說你的理由.
解:由題意,$c≠-b.$ $\frac {a+c}{b+c}-\frac {a}=\frac {b(a+c)-a(b+c)}{b(b+c)}$ $=\frac {ab+bc-ab-ac}{b(b+c)}$ $=\frac {c(b-a)}{b(b+c)}.$ $\because b＞a＞0,\therefore b-a＞0.$當(dāng)$c=0$時,$\frac {a+c}{b+c}=\frac {a};$當(dāng)$c＞0$時,$c(b-a)＞0,b(b+c)＞0,$ $\therefore \frac {c(b-a)}{b(b+c)}＞0$,即$\frac {a+c}{b+c}-\frac {a}＞0,\therefore \frac {a+c}{b+c}＞\frac {a};$當(dāng)$-b＜c＜0$時,$c(b-a)＜0,b(b+c)＞0,$ $\therefore \frac {c(b-a)}{b(b+c)}＜0$,即$\frac {a+c}{b+c}-\frac {a}＜0,\therefore \frac {a+c}{b+c}＜\frac {a}.$當(dāng)$c＜-b＜0$時,$c(b-a)＜0,b(b+c)＜0,$ $\therefore \frac {c(b-a)}{b(b+c)}＞0$,即$\frac {a+c}{b+c}-\frac {a}＞0,\therefore \frac {a+c}{b+c}＞\frac {a}.$綜上可知,當(dāng)$c＞0$或$c＜-b＜0$時,$\frac {a+c}{b+c}$的值變大;當(dāng)$c=0$時,$\frac {a+c}{b+c}$的值不變;當(dāng)$-b＜c＜0$時,$\frac {a+c}{b+c}$的值變小.
答案：
(1)增大
(2)解:由題意,$c≠-b.$ $\frac {a+c}{b+c}-\frac {a}=\frac {b(a+c)-a(b+c)}{b(b+c)}$ $=\frac {ab+bc-ab-ac}{b(b+c)}$ $=\frac {c(b-a)}{b(b+c)}.$ $\because b＞a＞0,\therefore b-a＞0.$當(dāng)$c=0$時,$\frac {a+c}{b+c}=\frac {a};$當(dāng)$c＞0$時,$c(b-a)＞0,b(b+c)＞0,$ $\therefore \frac {c(b-a)}{b(b+c)}＞0$,即$\frac {a+c}{b+c}-\frac {a}＞0,\therefore \frac {a+c}{b+c}＞\frac {a};$當(dāng)$-b＜c＜0$時,$c(b-a)＜0,b(b+c)＞0,$ $\therefore \frac {c(b-a)}{b(b+c)}＜0$,即$\frac {a+c}{b+c}-\frac {a}＜0,\therefore \frac {a+c}{b+c}＜\frac {a}.$當(dāng)$c＜-b＜0$時,$c(b-a)＜0,b(b+c)＜0,$ $\therefore \frac {c(b-a)}{b(b+c)}＞0$,即$\frac {a+c}{b+c}-\frac {a}＞0,\therefore \frac {a+c}{b+c}＞\frac {a}.$綜上可知,當(dāng)$c＞0$或$c＜-b＜0$時,$\frac {a+c}{b+c}$的值變大;當(dāng)$c=0$時,$\frac {a+c}{b+c}$的值不變;當(dāng)$-b＜c＜0$時,$\frac {a+c}{b+c}$的值變小.
