1. 閱讀教材第 133 頁(yè)閱讀與思考,解決下列問(wèn)題:
在初中數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐課上,探究關(guān)于$x^{2}+(p+q)x+pq$型式子的因式分解.
問(wèn)題 1:請(qǐng)?jiān)敿?xì)闡述$(x+p)(x+q)= x^{2}+(p+q)x+pq$是如何利用多項(xiàng)式乘法法則推導(dǎo)得出的.
問(wèn)題 2:用十字相乘法將下列多項(xiàng)式分解因式:
(1)$m^{2}+9m+20$; (2)$n^{2}-3n-10$;
(3)$a^{2}+5a-24$; (4)$b^{2}-8b+15$.
問(wèn)題 3:已知一個(gè)長(zhǎng)方形的面積為$x^{2}+6x+8$,其中長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬均為整式,求該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬.(用含$x$的式子表示)
答案：解:問(wèn)題1:根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$,對(duì)于$(x+p)(x+q)$,其中$a=x$,$b=p$,$c=x$,$d=q$,則$(x+p)(x+q)=x\cdot x+x\cdot q+p\cdot x+p\cdot q=x^{2}+qx+px+pq=x^{2}+(p+q)x+pq$.
問(wèn)題2:
(1)對(duì)于$m^{2}+9m+20$,將二次項(xiàng)系數(shù)1分解為$1× 1$,常數(shù)項(xiàng)20分解為$4× 5$,因?yàn)?4+5=9$(一次項(xiàng)系數(shù)),所以$m^{2}+9m+20=(m+4)(m+5)$.
(2)對(duì)于$n^{2}-3n-10$,將二次項(xiàng)系數(shù)1分解為$1× 1$,常數(shù)項(xiàng)-10分解為$2× (-5)$,且$2+(-5)=-3$(一次項(xiàng)系數(shù)),所以$n^{2}-3n-10=(n+2)(n-5)$.
(3)對(duì)于$a^{2}+5a-24$,將二次項(xiàng)系數(shù)1分解為$1× 1$,常數(shù)項(xiàng)-24分解為$8× (-3)$,且$8+(-3)=5$(一次項(xiàng)系數(shù)),所以$a^{2}+5a-24=(a+8)(a-3)$.
(4)對(duì)于$b^{2}-8b+15$,將二次項(xiàng)系數(shù)1分解為$1× 1$,常數(shù)項(xiàng)15分解為$(-3)× (-5)$,且$(-3)+(-5)=-8$(一次項(xiàng)系數(shù)),所以$b^{2}-8b+15=(b-3)(b-5)$.
問(wèn)題3:對(duì)于$x^{2}+6x+8$,將二次項(xiàng)系數(shù)1分解為$1× 1$,常數(shù)項(xiàng)8分解為$2× 4$,且$2+4=6$(一次項(xiàng)系數(shù)),所以$x^{2}+6x+8=(x+2)(x+4)$.
因?yàn)殚L(zhǎng)方形面積等于長(zhǎng)乘寬，所以該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為$x+4$,寬為$x+2$.
