5. 已知 $\triangle ABC$ 的三邊長(zhǎng) $a$,$b$,$c$ 都是正整數(shù),且滿足 $2a^{2}+b^{2}-4a - 6b + 11 = 0$,求 $\triangle ABC$ 的周長(zhǎng).
答案：5.解:$\because 2a^{2}+b^{2}-4a-6b+11=0$,$\therefore 2a^{2}-4a+2+b^{2}-6b+9=0$,$\therefore 2(a-1)^{2}+(b-3)^{2}=0$,則$a-1=0$,$b-3=0$,解得$a=1$,$b=3$.
由三角形的三邊關(guān)系可知,$2＜c＜4$.
$\because a,b,c$都是正整數(shù),$\therefore c=3$,$\therefore \triangle ABC$的周長(zhǎng)為$1+3+3=7$.
6. 求證：$N = 5^{2}\cdot3^{2n + 1}\cdot2^{n}-3^{n}\cdot6^{n + 2}$ 能被 13 整除.
答案：6.證明:$N=5^{2}·3^{2n+1}·2^{n}-3^{n}·6^{n+2}$
$=5^{2}·(3^{2n}·3)·2^{n}-3^{n}·(6^{n}·6^{2})$
$=75·3^{2n}·2^{n}-36·3^{n}·6^{n}$
$=75·18^{n}-36·18^{n}$
$=39·18^{n}$
$=13×3·18^{n}$,
$\because 3·18^{n}$是整數(shù),$\therefore N$能被13整除.
7. 兩名同學(xué)將關(guān)于 $x$ 的二次三項(xiàng)式 $x^{2}+ax + b$ 分解因式,一名同學(xué)因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)而分解成 $(x - 1)(x - 9)$,另一名同學(xué)因看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)而分解成 $(x - 2)(x - 4)$.請(qǐng)將原多項(xiàng)式分解因式.
答案：7.解:由題意知常數(shù)項(xiàng)為$(-1)×(-9)=9$,一次項(xiàng)系數(shù)為$-4-2=-6$,故原多項(xiàng)式為$x^{2}-6x+9$.
分解因式可得$x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}$.
8. 把下列各式分解因式：
(1)$x^{2}-2x - 15$； (2)$x^{2}+3x - 10$； (3)$y^{2}+10y + 21$； (4)$x^{2}-9x + 18$；
(5)$2x^{2}+5x + 2$； (6)$6y^{2}-13y + 6$； (7)$5x^{2}+6x - 8$； (8)$2x^{2}-5x - 12$.
答案：8.
(1)$(x+3)(x-5)$
(2)$(x+5)(x-2)$
(3)$(y+3)(y+7)$
(4)$(x-3)(x-6)$
(5)$(x+2)(2x+1)$
(6)$(2y-3)(3y-2)$
(7)$(x+2)(5x-4)$
(8)$(x-4)(2x+3)$
