3. 閱讀教材第 119 頁數(shù)學(xué)活動(dòng) 2,解決下列問題:
(1)計(jì)算下列兩組數(shù)的積(每組中兩個(gè)數(shù)的和為定值),你能發(fā)現(xiàn)結(jié)果有什么規(guī)律嗎?
①$20×20,25×15,27×13,33×7$;
②$40×40,43×37,54×26,61×19$.
(2)你能利用所學(xué)知識解釋你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎?
(3)用 12 米長的繩子圍成一個(gè)長方形,長方形的最大面積是多少? 此時(shí)長方形的兩條鄰邊有什么關(guān)系? 你能得出更一般的結(jié)論嗎?
答案：
(1)①$20×20=400$,$25×15=375$,$27×13=351$,$33×7=231$;
②$40×40=1600$,$43×37=1591$,$54×26=1404$,$61×19=1159$.
規(guī)律:兩個(gè)數(shù)的和一定時(shí),這兩個(gè)數(shù)的差越小,它們的積越大.
(2)設(shè)兩個(gè)數(shù)的和為m,差為n,積為y,則其中一個(gè)數(shù)為$\frac {m+n}{2}$,另一個(gè)數(shù)為$\frac {m-n}{2}$,則$y=\frac {m+n}{2}\cdot \frac {m-n}{2}=\frac {m^{2}-n^{2}}{4}$,因?yàn)閙為定值,所以n越大,y越小,當(dāng)$n=0$時(shí),y有最大值$\frac {m^{2}}{4}$,即兩個(gè)數(shù)相等時(shí)積最大,隨著兩數(shù)差的增大,積逐漸減小.
(3)設(shè)長方形的長為x米,則寬為$(6-x)$米,面積為$x(6-x)=-x^{2}+6x=-(x-3)^{2}+9$.
所以當(dāng)$x=3$時(shí),長方形的面積最大,為9平方米,此時(shí)長方形的兩條鄰邊相等,為正方形.
一般結(jié)論:①當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和一定時(shí),這兩個(gè)數(shù)相等時(shí)它們的乘積最大;②當(dāng)長方形的周長固定時(shí),長和寬相等時(shí),面積最大.
