1. 在數(shù)學活動中,小明遇到了求式子$\frac {1}{2}+\frac {1}{2^{2}}+\frac {1}{2^{3}}+... +\frac {1}{2^{n}}$的值的問題. 他和同伴討論設計了如圖所示的幾何圖形來求式子的值. 已知圖中大正方形的面積為1,每一個小圖形中的數(shù)字表示這個小圖形的面積.
(1)圖中陰影部分的面積為____
$\frac{1}{2^{5}}$
; (用乘方的形式表示)
(2)利用圖形求$\frac {1}{2}+\frac {1}{2^{2}}+\frac {1}{2^{3}}+\frac {1}{2^{4}}+\frac {1}{2^{5}}$的值;
解:由所給圖形可知，$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+\frac{1}{2^{5}}+\frac{1}{2^{5}}=1$，所以$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+\frac{1}{2^{5}}=1-\frac{1}{2^{5}}=\frac{31}{32}$.
(3)直接寫出$\frac {1}{2}+\frac {1}{2^{2}}+\frac {1}{2^{3}}+... +\frac {1}{2^{n}}$的值. (結(jié)果用含n的式子表示)
解:由所給圖形可知，$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{2^{n}}=1$，所以$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}=1-\frac{1}{2^{n}}$.
答案：1.(1)$\frac{1}{2^{5}}$ 點撥:由所給圖形可知，圖中陰影部分的面積為$\frac{1}{2^{4}}$的一半，所以圖中陰影部分的面積為$\frac{1}{2}×\frac{1}{2^{4}}=\frac{1}{2^{5}}$.
(2)解:由所給圖形可知，$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+\frac{1}{2^{5}}+\frac{1}{2^{5}}=1$，所以$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+\frac{1}{2^{5}}=1-\frac{1}{2^{5}}=\frac{31}{32}$.
(3)解:由所給圖形可知，$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{2^{n}}=1$，所以$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}=1-\frac{1}{2^{n}}$.
2. 如圖,用火柴棒按圖中的方式搭圖形.
按上述信息填空:
(1)$a=$
21
,$b=$
26
;
(2)按照這種方式搭下去,搭第n個圖形需要火柴棒的根數(shù)為
5n+1
; (用含n的代數(shù)式表示)
(3)按照這種方式搭下去,用(2)中的代數(shù)式求搭第2025個圖形需要火柴棒的根數(shù).
解:當n=2025時,5n+1=5×2025+1=10126.所以搭第2025個圖形需要火柴棒的根數(shù)為10126.
答案：2.(1)21 26 點撥:(1)搭第1個圖形需要火柴棒的根數(shù)為$6=1×5+1$；搭第2個圖形需要火柴棒的根數(shù)為$11=2×5+1$；搭第3個圖形需要火柴棒的根數(shù)為$16=3×5+1$；……所以搭第n個圖形需要火柴棒的根數(shù)為$n×5+1=5n+1$.當$n=4$時,$a=5×4+1=21$；當$n=5$時,$b=5×5+1=26$.
(2)$5n+1$ 點撥:由(1)知,搭第n個圖形需要火柴棒的根數(shù)為$(5n+1)$.
(3)解:當$n=2025$時,$5n+1=10126$.所以搭第2025個圖形需要火柴棒的根數(shù)為10126.
