1. 閱讀下面材料：
計算 $1 + 5 + 5^{2} + 5^{3} + … + 5^{99} + 5^{100}$。
觀察發(fā)現(xiàn),上式從第二項起,每一項都是它前面一項的 5 倍,如果將上式各項都乘 5,所得新算式中除個別項外,其余與原式中的項相同,于是兩式相減,易于計算。
解：設(shè) $S = 1 + 5 + 5^{2} + 5^{3} + … + 5^{99} + 5^{100}$,①
則 $5S = 5 + 5^{2} + … + 5^{100} + 5^{101}$,②
② - ①得 $4S = 5^{101} - 1$,則 $S = \frac{5^{101} - 1}{4}$。
上面的計算方法稱為“錯位相減法”,如果一列數(shù),從第二項起每一項與前一項之比都相等(本例中都等于 5),那么這列數(shù)的求和問題,均可用錯位相減法來解決。
下面請你觀察算式 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + … + \frac{1}{2^{2000}}$ 是否具備上述規(guī)律？若是,請你嘗試用錯位相減法計算。
答案：解:此式具備上述規(guī)律.
設(shè)$ S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\cdots+\frac{1}{2^{2000}} $,①
則$ \frac{1}{2}S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+\cdots+\frac{1}{2^{2001}} $,②
①-②得$ \frac{1}{2}S=1-\frac{1}{2^{2001}} $,
解得$ S=2-\frac{1}{2^{2000}} $.
2. 閱讀材料：
求值：$1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + … + 2^{20}$。
解：設(shè) $S = 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + … + 2^{20}$①,將等式兩邊同時乘 2 得
$2S = 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + … + 2^{20} + 2^{21}$②,
② - ①,得 $S = 2^{21} - 1$,
即 $S = 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + … + 2^{20} = 2^{21} - 1$。
請你仿照此法計算：
(1)$1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + … + 2^{100}$；
(2)$1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + … + 3^{n}$。($n$ 為正整數(shù))
答案：解:(1)設(shè)$ S=1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{100} $,①
將等式兩邊同時乘2,
得$ 2S=2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\cdots+2^{101} $,②
②-①,得$ S=2^{101}-1 $,
即$ S=1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{100}=2^{101}-1 $.
(2)設(shè)$ S=1+3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+\cdots+3^{n} $,①
將等式兩邊同時乘3,得
$ 3S=3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}+\cdots+3^{n+1} $,②
②-①,得$ 3S-S=3^{n+1}-1 $,
即$ 2S=3^{n+1}-1 $,
故$ S=1+3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+\cdots+3^{n}=\frac{3^{n+1}-1}{2} $.
