9. (10分)如圖,在同一平面內(nèi)有四個點A,B,C,D,請按要求完成下列問題。(不要求寫出作法和結(jié)論)
(1)作射線AC；
(2)作直線BD與射線AC相交于點O；
(3)分別作線段AB,AD；
(4)我們?nèi)菀着袛喑鼍€段$AB+AD$與BD的數(shù)量關(guān)系是______,理由是______。
答案：解:(1)(2)(3)如答圖所示.
(4)AB+AD＞BD 兩點之間,線段最短
10. (10分)如圖,已知A,B,C,D四點在同一直線上,點D在線段AB上,C是線段AB的中點。
(1)若線段$AB= 18$,$BD= 2CD$,求線段AD的長度；
(2)若$AD:BD= 3:2$,且$CD= 2$,求線段AB的長度。
答案：解:(1)因為線段AB=18,C是線段AB的中點,
所以AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=9.
因為BD=2CD,
所以CD=$\frac{1}{3}$BC=$\frac{1}{3}×9$=3,
所以AD=AC+CD=9+3=12.
(2)因為AD:BD=3:2,
所以設(shè)AD=3x,BD=2x,
所以AB=5x,
所以AC=AD-CD=3x-2,BC=BD+CD=2x+2.
因為C是線段AB的中點,
所以AC=BC,
所以3x-2=2x+2,解得x=4,
所以AB=5×4=20.
11. (14分)如圖①,將一張長為60cm,寬為40cm的長方形紙片,在四個角上分別剪去邊長為xcm的小正方形,將剩下部分折成如圖②所示的一個無蓋長方體盒子。
(1)若$x= 5$,則將剩下部分折成的無蓋長方體盒子的體積為
7500
$cm^{3}$；
(2)若將剩下部分折成的無蓋長方體盒子的底面的長是寬的2倍,求該盒子的體積。
解:由題意知,無蓋長方體盒子的長為(60-2x)cm,寬為(40-2x)cm,則
60-2x=2(40-2x),解得x=10,
所以60-2x=40,40-2x=20.
40×20×10=8000(cm3).
答:該盒子的體積為8000cm3.
答案：(1)7500
(2)解:由題意知,無蓋長方體盒子的長為(60-2x)cm,寬為(40-2x)cm,則
60-2x=2(40-2x),解得x=10,
所以60-2x=40,40-2x=20.
40×20×10=8000(cm3).
答:該盒子的體積為8000cm3.
12. (14分)如圖,點A,O,B在同一條直線上,射線OD平分$∠BOC$,設(shè)$∠AOD= α(135^{\circ }＜α＜180^{\circ })$。
(1)當(dāng)$α=150^{\circ }$時,求$∠AOC$的度數(shù)；
(2)若在$∠AOD$的內(nèi)部畫射線OE,使$∠BOE= 90^{\circ }$,求證：$∠DOE與∠DOC$互余；
(3)畫射線OE,若$∠DOE與∠DOC$互余,求$∠BOE$的度數(shù)。(用含α的代數(shù)式表示)
答案：(1)解:因為∠AOD=α=150°,
所以∠BOD=180°-∠AOD=30°.
因為OD平分∠BOC,
所以∠DOC=∠BOD=30°,
所以∠AOC=∠AOD-∠DOC=150°-30°=120°.
(2)證明:因為在∠AOD的內(nèi)部畫射線OE,∠BOE=90°,所以∠BOD+∠DOE=90°.
因為OD平分∠BOC,
所以∠DOC=∠BOD,
所以∠DOC+∠DOE=90°,
所以∠DOE與∠DOC互余.
(3)解:當(dāng)射線OE在∠AOD的內(nèi)部時,如答圖①.
因為OD平分∠BOC,所以∠DOC=∠BOD.
因為∠DOE+∠DOC=90°,
所以∠DOE+∠BOD=90°,所以∠BOE=90°.
當(dāng)射線OE在∠AOD的外部時,如答圖②.
因為∠AOD=α,所以∠BOD=180°-α.
因為射線OD平分∠BOC,
所以∠BOC=2∠BOD=2(180°-α).
因為∠DOE+∠DOC=90°,即∠EOC=90°,
所以∠BOE=90°-2(180°-α)=2α-270°.
所以∠BOE=90°或∠BOE=2α-270°.
