11. 若 $a-b= 2, a-c= \frac{1}{2}$, 則整式 $(c-b)^{2}+3(b-c)+\frac{9}{4}$ 的值為 (
D
)
A.$\frac{9}{2}$
B.$\frac{9}{4}$
C.9
D.0
答案：D 解析：因為$a - b = 2$，$a - c=\frac{1}{2}$，所以$(a - b)-(a - c)=a - b - a + c=-b + c = c - b = 2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，所以$b - c=-\frac{3}{2}$，所以原式$=(\frac{3}{2})^{2}+3×(-\frac{3}{2})+\frac{9}{4}=\frac{9}{4}-\frac{9}{2}+\frac{9}{4}=0$。故選D。
12. (1) 若關于 $x, y$ 的兩個多項式 $2 m x^{2}-2 x+y$ 與 $-6 x^{2}+2 x-3 y$ 的差中不含二次項, 則 $m=$
-3
.
(2) 已知 $P= 3 a x-8 x+1, Q= x-2 a x-3$, 無論 $x$ 取何值時, $3 P-2 Q= 9$ 恒成立, 則 $a=$
2
.
答案：(1)$-3$；(2)2 解析：因為$P = 3ax - 8x + 1$，$Q = x - 2ax - 3$，無論$x$取何值時，$3P - 2Q = 9$恒成立，所以$3P - 2Q = 3(3ax - 8x + 1)-2(x - 2ax - 3)=9ax - 24x + 3 - 2x + 4ax + 6 = 13ax - 26x + 9=(13a - 26)x + 9 = 9$，所以$13a - 26 = 0$，解得$a = 2$。
解析：
(1)
解：$(2mx^2 - 2x + y) - (-6x^2 + 2x - 3y)$
$=2mx^2 - 2x + y + 6x^2 - 2x + 3y$
$=(2m + 6)x^2 - 4x + 4y$
∵差中不含二次項，
∴$2m + 6 = 0$，解得$m = -3$。
(2)
解：$3P - 2Q = 3(3ax - 8x + 1) - 2(x - 2ax - 3)$
$=9ax - 24x + 3 - 2x + 4ax + 6$
$=(13a - 26)x + 9$
∵無論$x$取何值，$3P - 2Q = 9$恒成立，
∴$13a - 26 = 0$，解得$a = 2$。
答案：(1)$-3$；(2)$2$
13. 新題型 新定義 (2024·北京東城區(qū)期末) 對于個位數(shù)字不為零的任意三位數(shù) $M$, 將其個位數(shù)字與百位數(shù)字對調(diào)得到 $M^{\prime}$, 則稱 $M^{\prime}$ 為 $M$ 的“倒序數(shù)”, 將一個數(shù)與它的“倒序數(shù)”的差的絕對值與 99 的商記為 $F(M)$. 例如 523 為 325 的“倒序數(shù)”, $F(325)= \frac{|325-523|}{99}= 2$.
(1) $F(136)=$
5
;
(2) 對于任意三位數(shù) $\overline{a b c}$ 滿足: $c＞a, F(M)$ 的值是
$c - a$
.
答案：(1)5 解析：由題意可得$F(136)=\frac{|136 - 631|}{99}=5$；(2)$c - a$ 解析：任意三位數(shù)$\overline{abc}$，$c ＞ a$，則$F(M)=\frac{|100a + 10b + c-(100c + 10b + a)|}{99}=\frac{99(c - a)}{99}=c - a$。
解析：
(1)解：$F(136)=\frac{|136 - 631|}{99}=\frac{495}{99}=5$
(2)解：設三位數(shù)$M=\overline{abc}=100a + 10b + c$，其倒序數(shù)$M'=\overline{cba}=100c + 10b + a$。因為$c＞a$，所以$F(M)=\frac{|(100a + 10b + c)-(100c + 10b + a)|}{99}=\frac{|99a - 99c|}{99}=\frac{99(c - a)}{99}=c - a$
答案：(1)5；(2)$c - a$
14. 已知 $A= 3 a^{2} b-2 a b^{2}+a b c$, 小明錯將“ $2 A-B$ ”看成“ $2 A+B$ ”, 算得結果 $C= 4 a^{2} b-3 a b^{2}+4 a b c$.
(1) 計算 $B$ 的代數(shù)式.
(2) 求正確結果的代數(shù)式.
(3) 小強說 (2) 中結果的大小與 $c$ 的取值無關, 對嗎? 若對, 則當 $a= \frac{1}{8}, b= \frac{1}{5}$ 時, 求 (2) 中代數(shù)式的值.
答案：(1)因為$2A + B = C$，所以$B = C - 2A = 4a^{2}b - 3ab^{2}+4abc - 2(3a^{2}b - 2ab^{2}+abc)=4a^{2}b - 3ab^{2}+4abc - 6a^{2}b + 4ab^{2}-2abc=-2a^{2}b + ab^{2}+2abc$；(2)$2A - B = 2(3a^{2}b - 2ab^{2}+abc)-(-2a^{2}b + ab^{2}+2abc)=6a^{2}b - 4ab^{2}+2abc + 2a^{2}b - ab^{2}-2abc = 8a^{2}b - 5ab^{2}$；(3)對，將$a=\frac{1}{8}$，$b=\frac{1}{5}$代入，得$8a^{2}b - 5ab^{2}=8×(\frac{1}{8})^{2}×\frac{1}{5}-5×\frac{1}{8}×(\frac{1}{5})^{2}=0$。
15. (1) 如圖①, 兩個圓的半徑分別為 5 和 3, 兩陰影部分的面積分別為 $a, b(a＞b)$, 則 $a-b= $
$16\pi$
.
(2) (樂山中考改編) 如圖②, $A, B, C, D$ 分別是正方形的四個頂點, 我們將該正方形表示為正方形 $A B C D$, 此時該正方形的邊長為 3. 以 $A$ 為圓心, 2 為半徑作圓弧, 以 $D$ 為圓心, 3 為半徑作圓弧. 若圖中陰影部分的面積分別為 $S_{1}, S_{2}$, 則 $S_{1}-S_{2}= $
$\frac{13\pi}{4}-9$
.
答案：(1)$16\pi$ 解析：設重疊部分面積為$c$，所以$a - b=(a + c)-(b + c)=25\pi - 9\pi = 16\pi$；(2)$\frac{13\pi}{4}-9$ 解析：設題圖中左側小空白區(qū)域的面積為$m$，由題圖可知，$S_{1}+m$是半徑為2的四分之一圓的面積，$S_{2}+m$是邊長為3的正方形$ABCD$的面積與半徑為3的四分之一圓的面積之差，所以$S_{1}-S_{2}=(S_{1}+m)-(S_{2}+m)=\frac{1}{4}×\pi×2^{2}-(3×3-\frac{1}{4}×\pi×3^{2})=\pi-(9-\frac{9\pi}{4})=\frac{13\pi}{4}-9$。
解析：
(1)設重疊部分面積為$c$，則$a - b=(a + c)-(b + c)=\pi×5^{2}-\pi×3^{2}=25\pi - 9\pi = 16\pi$。
(2)設左側小空白區(qū)域的面積為$m$，$S_{1}+m=\frac{1}{4}×\pi×2^{2}$，$S_{2}+m=3×3-\frac{1}{4}×\pi×3^{2}$，$S_{1}-S_{2}=(S_{1}+m)-(S_{2}+m)=\frac{1}{4}×\pi×4-(9-\frac{1}{4}×\pi×9)=\pi - 9+\frac{9\pi}{4}=\frac{13\pi}{4}-9$。
(1)$16\pi$；(2)$\frac{13\pi}{4}-9$
16. 將圖①中的長方形紙片剪成 1 號, 2 號, 3 號, 4 號正方形和 5 號長方形.
(1) 設 3 號正方形的邊長為 $x, 4$ 號正方形的邊長為 $y$, 求 1 號, 2 號正方形的邊長分別是多少; (用 $x, y$ 的代數(shù)式表示)
(2) 若圖①中大長方形紙片的周長為 48, 試求 3 號正方形的邊長;
(3) 在 (2) 的情況下, 若將這五個圖形按圖②的方式放入周長為 100 的長方形中, 求陰影部分的周長.
答案：(1)因為3號正方形的邊長為$x$，4號正方形的邊長為$y$，所以1號正方形的邊長為$y - x$，2號正方形的邊長為$x-(y - x)=2x - y$；(2)由(1)得長方形的長為$x + y$，寬為$x+(2x - y)=3x - y$，因為長方形的周長為48，即$2[(x + y)+(3x - y)]=8x = 48$，所以$x = 6$。因為3號正方形的邊長為$x$，所以3號正方形的邊長為6；(3)如圖，由平移知識可知陰影部分的周長為長方形$ABCD$的周長，由(2)可知3號正方形的邊長為6，4號正方形的邊長為$y$，5號長方形的寬為2號正方形的邊長減去1號正方形的邊長的差，即$2x - y-(y - x)=3x - 2y = 3×6 - 2y = 18 - 2y$，所以$AD = 6 + y + 18 - 2y = 24 - y$，周長為100的長方形的長為$AB + 6$，寬為$24 - y$，所以$2[AB + 6+(24 - y)]=100$，所以$AB = 20 + y$，則長方形$ABCD$的周長為$[20 + y+(24 - y)]×2 = 88$，即陰影部分的周長為88。
