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8. 如圖,在同一平面內,$∠AOB= 90^{\circ}$,若$∠AOC= ∠BOD= 30^{\circ}$,則$∠COD$的度數不可能為( )

A.$30^{\circ}$
B.$90^{\circ}$
C.$120^{\circ}$
D.$150^{\circ}$

答案：
C 解析:當 $OC$, $OD$ 都在 $\angle AOB$ 的內部時,如圖①所示,此時 $\angle COD = \angle AOB - \angle AOC - \angle BOD = 90^{\circ} - 30^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$,故 A 不符合題意;當 $OC$, $OD$ 都在 $\angle AOB$ 的外部時,如圖②所示,此時 $\angle COD = \angle AOB + \angle AOC + \angle BOD = 90^{\circ} + 30^{\circ} + 30^{\circ} = 150^{\circ}$,故 D 不符合題意;當 $OC$, $OD$ 任一個在 $\angle AOB$ 內部,另一個在 $\angle AOB$ 的外部時,如圖③和圖④所示,此時 $\angle COD = \angle AOB + \angle AOC - \angle BOD = 90^{\circ} + 30^{\circ} - 30^{\circ} = 90^{\circ}$ 或 $\angle COD = \angle AOB - \angle AOC + \angle BOD = 90^{\circ} - 30^{\circ} + 30^{\circ} = 90^{\circ}$,故 B 不符合題意,故選 C.
　　　　　　

9. 直線$AB$,$CD相交于點O$,$∠AOC= 30^{\circ}$,若$OE⊥AB$,$OF平分∠DOE$,則$∠COF$的度數為____。

答案：
$120^{\circ}$ 或 $150^{\circ}$ 解析:(1)當射線 $OE$ 在直線 $AB$ 上方時,如圖①. 因為 $OE \perp AB$,所以 $\angle BOE = 90^{\circ}$. 因為 $\angle AOC = 30^{\circ}$,所以 $\angle BOD = 30^{\circ}$,所以 $\angle DOE = \angle BOD + \angle BOE = 120^{\circ}$. 因為 $OF$ 平分 $\angle DOE$,所以 $\angle DOF = \frac{1}{2}\angle DOE = \frac{1}{2} × 120^{\circ} = 60^{\circ}$,所以 $\angle COF = 180^{\circ} - \angle DOF = 120^{\circ}$.
　　　　

(2)當射線 $OE$ 在直線 $AB$ 下方時,如圖②. 因為 $OE \perp AB$,所以 $\angle BOE = 90^{\circ}$. 因為 $\angle AOC = 30^{\circ}$,所以 $\angle BOD = 30^{\circ}$,所以 $\angle DOE = \angle BOE - \angle BOD = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$. 因為 $OF$ 平分 $\angle DOE$,所以 $\angle DOF = \frac{1}{2}\angle DOE = \frac{1}{2} × 60^{\circ} = 30^{\circ}$,所以 $\angle COF = 180^{\circ} - \angle DOF = 150^{\circ}$. 綜上, $\angle COF$ 的度數為 $120^{\circ}$ 或 $150^{\circ}$.

10. 若$∠AOB= 80^{\circ}$,過點$O作射線OC$(不同于$OA$,$OB$),滿足$∠AOC= \frac {3}{5}∠BOC$,則$∠AOC$的大小為____。(注：題中所說的角都是小于平角的角)

答案：
$30^{\circ}$ 或 $105^{\circ}$ 解析:(1)當 $OC$ 落在 $\angle AOB$ 內部時,如圖①,因為 $\angle AOC = \frac{3}{5}\angle BOC$, $\angle AOB = 80^{\circ}$,所以 $\angle AOC = 80^{\circ} × \frac{3}{8} = 30^{\circ}$.
　　　　　

(2)當 $OC$ 落在 $\angle AOB$ 外部時,如圖②,反向延長 $OA$, $OB$.
①若 $OC$ 落在 $\angle BON$ 內,則 $\angle AOC \gt \angle BOC$. 因為 $\angle AOC = \frac{3}{5}\angle BOC$,所以這種情況不存在.
②若 $OC$ 落在 $\angle MOA$ 內,則 $\angle BOC - \angle AOC = 80^{\circ}$. 因為 $\angle AOC : \angle BOC = 3 : 5$,所以 $\angle BOC = 200^{\circ} \gt 180^{\circ}$,所以這種情況不存在.
③若 $OC$ 落在 $\angle MON$ 內,則 $\angle AOC + \angle BOC = 360^{\circ} - 80^{\circ} = 280^{\circ}$,所以 $\angle AOC = 280^{\circ} × \frac{3}{8} = 105^{\circ}$.
綜上所述, $\angle AOC = 30^{\circ}$ 或 $105^{\circ}$.

11. (2025·阜陽期末)如圖,已知$∠AOB與∠BOC$互余,且$∠AOB= 2∠BOC$。若$∠AOE= 40^{\circ}$,請補全圖形,求$∠BOE$的度數。

答案：
因為 $\angle AOB$ 與 $\angle BOC$ 互余,所以 $\angle AOB + \angle BOC = 90^{\circ}$.
又 $\angle AOB = 2\angle BOC$,即 $\angle BOC = \frac{1}{2}\angle AOB$,所以 $\angle AOB + \frac{1}{2}\angle AOB = 90^{\circ}$,解得 $\angle AOB = 60^{\circ}$. 當 $OE$ 在 $\angle AOB$ 的外部時,如圖①所示,因為 $\angle AOE = 40^{\circ}$,所以 $\angle BOE = \angle AOE + \angle AOB = 100^{\circ}$.
　　　　　　　

當 $OE$ 在 $\angle AOB$ 的內部時,如圖②所示,因為 $\angle AOE = 40^{\circ}$,所以 $\angle BOE = \angle AOB - \angle AOE = 20^{\circ}$. 綜上所述, $\angle BOE$ 的度數為 $100^{\circ}$ 或 $20^{\circ}$.

12. “中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了$A$,$D$兩座可旋轉探照燈。假定主道路是平行的,即$PQ// CN$,$A$,$B為PQ$上兩點,$AD平分∠CAB交CN于點D$,$E為AD$上一點,連接$BE$,$AF平分∠BAD交BE于點F$。
(1)若$∠C= 40^{\circ}$,求$∠EAP$的大小。
(2)作$AG交CD于點G$,且滿足$∠1= \frac {1}{3}∠ADC$,當$∠2+\frac {6}{5}∠GAF= 180^{\circ}$時,試說明：$AC// BE$。
(3)在(1)的條件下,探照燈$A$,$D$照出的光線在鐵路所在平面旋轉,探照燈$A射出的光線AC$以每秒4度的速度逆時針轉動,探照燈$D射出的光線DN$以每秒12度的速度逆時針轉動,光線$DN轉至射線DC$后立即以相同速度順時針回轉,若它們同時開始轉動,設轉動時間為$t$秒,當光線$DN$回到出發(fā)時的位置時同時停止轉動,則在轉動過程中,$t為何值時光線AC與光線DN$互相平行或垂直？請直接寫出$t$的值。

答案：
(1)因為 $PQ // CN$, $\angle C = 40^{\circ}$,所以 $\angle CAB + \angle C = 180^{\circ}$, $\angle PAC = \angle C = 40^{\circ}$,所以 $\angle CAB = 140^{\circ}$. 因為 $AD$ 平分 $\angle CAB$,所以 $\angle CAD = \frac{1}{2}\angle CAB = \frac{1}{2} × 140^{\circ} = 70^{\circ}$,所以 $\angle EAP = \angle CAD + \angle PAC = 70^{\circ} + 40^{\circ} = 110^{\circ}$.
(2)因為 $PQ // CN$,所以 $\angle ADC = \angle BAD$. 因為 $\angle 1 = \frac{1}{3}\angle ADC$,所以 $\angle 1 = \frac{1}{3}\angle BAD$. 因為 $AF$ 平分 $\angle BAD$,所以 $\angle BAD = 2\angle EAF$,所以 $\angle 1 = \frac{2}{3}\angle EAF$,所以 $\angle GAF = \angle 1 + \angle EAF = \frac{5}{3}\angle EAF$. 因為 $\angle 2 + \frac{6}{5}\angle GAF = 180^{\circ}$,所以 $\angle 2 + 2\angle EAF = 180^{\circ}$,所以 $\angle 2 + \angle BAD = 180^{\circ}$. 因為 $\angle 2 + \angle AEB = 180^{\circ}$,所以 $\angle BAD = \angle AEB$. 因為 $\angle BAD = \angle CAD$,所以 $\angle CAD = \angle AEB$,所以 $AC // BE$.
(3)$t$ 的值為 5 或 20 或 $\frac{205}{8}$. 解析:$360^{\circ} ÷ 12^{\circ} = 30$(s),當 $AC // DN$ 時,則 $\angle ACD = \angle HDN$,如圖①,因為 $PQ // CH$,所以 $\angle PAC = \angle ACD$,所以 $\angle PAC = \angle HDN$. 由題意得 $\angle PAC = 40^{\circ} + 4t^{\circ}$, $\angle HDN = 12t^{\circ}$,所以 $40^{\circ} + 4t^{\circ} = 12t^{\circ}$,所以 $t = 5$.
　　　　

當 $AC \perp DN$ 時, $\angle CND = 90^{\circ}$,如圖②,因為 $PA // CD$,所以 $\angle ACD = \angle PAC = 40^{\circ} + 4t^{\circ}$.
當 $t \lt 15$ 時,光線 $DN$ 未轉至射線 $DC$,有 $\angle NDH = 12t^{\circ}$,所以 $\angle NDC = 180^{\circ} - 12t^{\circ}$,所以 $40^{\circ} + 4t^{\circ} + 180^{\circ} - 12t^{\circ} = 90^{\circ}$,解得 $t = \frac{65}{4}$. 因為 $\frac{65}{4} \gt 15$,故不符合題意;當 $t \geqslant 15$ 時,光線 $DN$ 順時針回轉,有 $\angle NDC = 12t^{\circ} - 180^{\circ}$,所以 $40^{\circ} + 4t^{\circ} + 12t^{\circ} - 180^{\circ} = 90^{\circ}$,解得 $t = \frac{115}{8}$. 因為 $\frac{115}{8} \lt 15$,故不符合題意.
當 $ND // AC$ 時,則 $\angle NDC = \angle ACH$,如圖③,由題意, $\angle MDN = 12t^{\circ} - 180^{\circ}$, $\angle PAC = 40^{\circ} + 4t^{\circ}$,所以 $\angle NDC = 180^{\circ} - \angle MDN = 360^{\circ} - 12t^{\circ}$. 因為 $PA // CD$,所以 $\angle ACH = \angle PAC = 40^{\circ} + 4t^{\circ}$,所以 $40^{\circ} + 4t^{\circ} = 360^{\circ} - 12t^{\circ}$,所以 $t = 20$.
　　　　

當 $DN \perp AC$ 時, $\angle DNC = 90^{\circ}$,如圖④,因為 $\angle NDC = 360^{\circ} - 12t^{\circ}$, $\angle NDC + \angle DCN = 90^{\circ}$, $\angle DCN = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 4t^{\circ})$,所以 $360^{\circ} - 12t^{\circ} + 180^{\circ} - (40^{\circ} + 4t^{\circ}) = 90^{\circ}$,所以 $t = \frac{205}{8}$.
綜上,$t$ 的值為 5 或 20 或 $\frac{205}{8}$.

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