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1. 如圖,$AB// CD$,$∠E = 40^{\circ}$,$∠A = 110^{\circ}$,則$∠C = $______$^{\circ}$。

答案：
70 解析:如圖,記 AE 與 CD 的交點為 F.因為 $ AB // CD $,所以 $ \angle A + \angle AFD = 180^\circ $.因為 $ \angle A = 110^\circ $,所以 $ \angle AFD = 70^\circ $,所以 $ \angle CFE = \angle AFD = 70^\circ $.因為 $ \angle CEF = 40^\circ $,所以 $ \angle C = 180^\circ - \angle CEF - \angle CFE = 180^\circ - 40^\circ - 70^\circ = 70^\circ $.

一題多解如圖,過點 E 作 $ EG // AB $,因為 $ AB // CD $, $ EG // AB $,所以 $ CD // EG $,所以 $ \angle GEA = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ $,所以 $ \angle CEG = \angle CEA + \angle GEA = 40^\circ + 70^\circ = 110^\circ $,所以 $ \angle C = 180^\circ - \angle CEG = 70^\circ $.

2. 如圖,$∠AEC = 80^{\circ}$,在$∠AEC的兩邊上分別過點A和點C向同方向作射線AB和CD$,且$AB// CD$,若$∠EAB和∠ECD的平分線所在的直線交于點P$($P與C$不重合),則$∠APC$的大小為______。

答案：
$ 40^\circ $或 $ 140^\circ $ 解析:①當(dāng) $ \angle EAB $ 為銳角時,如圖①所示,過點 E 作 $ EF // AB $,過點 P 作 $ PQ // AB $,因為 $ AB // CD $,所以 $ AB // CD // EF // PQ $.因為 $ EF // AB $, $ EF // CD $,所以 $ \angle EAB + \angle AEC + \angle CEF = 180^\circ $, $ \angle CEF + \angle ECD = 180^\circ $,所以 $ \angle EAB + \angle AEC = \angle ECD $,即 $ \angle ECD - \angle EAB = \angle AEC = 80^\circ $.因為 $ PQ // AB $, $ PQ // CD $,所以 $ \angle PAB + \angle APC + \angle CPQ = 180^\circ $, $ \angle CPQ + \angle PCD = 180^\circ $,所以 $ \angle PAB + \angle APC = \angle PCD $,即 $ \angle PCD - \angle PAB = \angle APC $.又因為點 P 為 $ \angle EAB $ 和 $ \angle ECD $ 的平分線所在的直線的交點,所以 $ \angle PAB = \frac{1}{2} \angle EAB $, $ \angle PCD = \frac{1}{2} \angle ECD $,所以 $ \angle APC = \angle PCD - \angle PAB = \frac{1}{2} \angle ECD - \frac{1}{2} \angle EAB = \frac{1}{2} \angle AEC = 40^\circ $.

②當(dāng) $ \angle EAB $ 為鈍角時,如圖②所示,過點 E 作 $ EF // AB $,過點 P 作 $ HQ // AB $,因為 $ AB // CD $,所以 $ AB // CD // EF // PQ $.因為 $ EF // AB $, $ EF // CD $,所以 $ \angle BAE + \angle AEF = 180^\circ $, $ \angle DCE + \angle CEF = 180^\circ $,所以 $ \angle BAE + \angle AEF + \angle DCE + \angle CEF = 360^\circ $.因為 $ \angle AEC = \angle AEF + \angle CEF = 80^\circ $,所以 $ \angle BAE + \angle DCE = 280^\circ $.因為 $ PQ // AB $, $ PQ // CD $,所以 $ \angle DCP = \angle HPC $, $ \angle BAP = \angle HPA $.又因為點 P 為 $ \angle EAB $ 和 $ \angle ECD $ 的平分線所在的直線的交點,所以 $ \angle BAP = \frac{1}{2} \angle BAE $, $ \angle DCP = \frac{1}{2} \angle DCE $,所以 $ \angle BAP + \angle DCP = \frac{1}{2} ( \angle BAE + \angle DCE ) = 140^\circ $,所以 $ \angle APC = \angle HPC + \angle HPA = 140^\circ $.綜上所述, $ \angle APC = 40^\circ $ 或 $ 140^\circ $.

3. 已知$AB// CD$,$E$是平面內(nèi)一點,連接$AE$,$CE$。
(1)如圖①,若$∠A = 160^{\circ}$,$∠C = 135^{\circ}$,求$∠AEC$的度數(shù)；
(2)如圖②,當(dāng)點$E在CD$上方時,猜想$∠A$,$∠C與∠AEC$之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由；
(3)如圖③,$AF平分∠BAE$,連接$CF$,$∠FCD= \frac{1}{6}∠ECD$,若$∠E = 30^{\circ}$,$∠AFC = 40^{\circ}$,求$∠FCD$的度數(shù)。

答案：
(1) 過點 E 作 $ EF // AB $,如圖①,所以 $ AB // EF // CD $,所以 $ \angle A + \angle AEF = 180^\circ $, $ \angle C + \angle CEF = 180^\circ $.因為 $ \angle A = 160^\circ $, $ \angle C = 135^\circ $,所以 $ \angle AEF = 180^\circ - \angle A = 20^\circ $, $ \angle CEF = 180^\circ - \angle C = 45^\circ $. 所以 $ \angle AEC = \angle AEF + \angle CEF = 20^\circ + 45^\circ = 65^\circ $.

(2) $ \angle C = \angle AEC + \angle A $.理由如下:延長 DC 交 AE 于點 F,如圖②,因為 $ AB // CD $,所以 $ \angle CFE = \angle A $.因為 $ \angle DCE = 180^\circ - \angle ECF = 180^\circ - ( 180^\circ - \angle AEC - \angle CFE ) = \angle AEC + \angle CFE $,所以 $ \angle DCE = \angle AEC + \angle A $.(3) 如圖③,由條件可得 $ \angle DMF = 180^\circ - \angle FMC = 180^\circ - ( 180^\circ - \angle FCD - \angle F ) = \angle FCD + \angle F $.因為 $ AB // CD $,所以 $ \angle BAF = \angle DMF = \angle FCD + \angle F $.因為 AF 平分 $ \angle BAE $,所以 $ \angle BAE = 2 \angle BAF = 2 \angle FCD + 2 \angle F $.由(2) 可得 $ \angle DCE = \angle BAE + \angle E $,因為 $ \angle FCD = \frac{1}{6} \angle ECD $,所以 $ \angle ECD = 6 \angle FCD $,所以 $ 6 \angle FCD = 2 \angle FCD + 2 \angle F + \angle E $.因為 $ \angle E = 30^\circ $, $ \angle AFC = 40^\circ $,所以 $ \angle FCD = 27.5^\circ $.

4. 我國古代觀星,并對星圖進(jìn)行藝術(shù)加工可以追溯到公元前,敦煌星圖是世界現(xiàn)存古代星圖中星數(shù)較多,年代最早的星圖,繪制于唐代。元朝數(shù)學(xué)家郭守敬重新觀測了二十八星宿(東南西北各七宿,圖①是其中的南方七宿之翼),編制了當(dāng)時最先進(jìn)的歷法《授時歷》。
小明學(xué)習(xí)了平行線知識,畫出了“南方七宿之翼”的上半部分(如圖②),$∠1 = \alpha$,$∠2 = \beta$,$∠3 = \gamma$,$∠4 = \theta$。
(1)當(dāng)$a// b$,$\alpha = 70^{\circ}$,$\beta = 25^{\circ}$,$\gamma = 30^{\circ}$時,如圖②,根據(jù)所學(xué)知識,可求得$∠4 = $______；
(2)當(dāng)$a// b$時,如圖②,猜想$∠1$,$∠2$,$∠3和∠4$的數(shù)量關(guān)系是______；
(3)小明又發(fā)現(xiàn),當(dāng)$a和b$不平行時,則相交于點$P$,得到$∠5$,如圖③,如果$m∠1 + n∠2 + m∠3 + n∠4 + n∠5$為定值,求$\frac{m}{n}$的值。

答案：
(1) $ 75^\circ $ 解析:如圖①,分別過 A,B 兩點作 $ AC // a $, $ BD // a $,因為 $ a // b $,所以 $ a // AC // BD // b $,所以 $ \angle CAB - \angle 3 + \angle 4 = 180^\circ $, $ \angle 1 = \angle 2 + \angle ABD $, $ \angle CAB + \angle ABD = 180^\circ $,所以 $ \angle CAB = 180^\circ + \angle 3 - \angle 4 $, $ \angle ABD = \angle 1 - \angle 2 $,所以 $ 180^\circ + \angle 3 - \angle 4 + \angle 1 - \angle 2 = 180^\circ $,所以 $ \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4 $.因為 $ \angle 1 = \alpha = 70^\circ $, $ \angle 2 = \beta = 25^\circ $, $ \angle 3 = \gamma = 30^\circ $,所以 $ \angle 4 = 70^\circ + 30^\circ - 25^\circ = 75^\circ $.

(2) $ \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4 $(3) 如圖②,分別過 A,B,E 作 $ AC // a $, $ BD // a $, $ EF // a $,所以 $ a // AC // BD // EF $,所以 $ \angle PEF = \angle 5 $, $ \angle CAE + \angle 4 + \angle PEF = 180^\circ $, $ \angle CAE + \angle 3 + \angle ABD = 180^\circ $, $ \angle 1 = \angle 2 + \angle ABD $,所以 $ \angle CAE = 180^\circ - \angle 4 - \angle 5 $, $ \angle ABD = \angle 1 - \angle 2 $,所以 $ 180^\circ - \angle 4 - \angle 5 + \angle 3 + \angle 1 - \angle 2 = 180^\circ $,即 $ ( \angle 1 + \angle 3 ) - ( \angle 2 + \angle 4 + \angle 5 ) = 0^\circ $.因為 $ m \angle 1 + n \angle 2 + m \angle 3 + n \angle 4 + n \angle 5 $ 為定值,即 $ m ( \angle 1 + \angle 3 ) + n ( \angle 2 + \angle 4 + \angle 5 ) $ 為定值,所以 m,n 互為相反數(shù),所以 $ \frac{m}{n} = - 1 $.

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