5. 新趨勢(shì) 項(xiàng)目式學(xué)習(xí) 操作與實(shí)踐：在綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上,老師將一副三角尺按圖①所示的位置擺放,分別在 $ \angle AOC $, $ \angle BOD $ 的內(nèi)部作射線(xiàn) $ OM $, $ ON $,然后提出如下問(wèn)題：先添加一個(gè)適當(dāng)條件,再求 $ \angle MON $ 的度數(shù).
(1) 特例探究：“興趣小組”的同學(xué)添加了“若 $ OM $, $ ON $ 分別平分 $ \angle AOC $, $ \angle BOD $”,畫(huà)出如圖②所示圖形. 小組 3 號(hào)同學(xué)佳佳的做法：由于圖中 $ \angle AOC $ 與 $ \angle BOD $ 的和為 $ 90^{\circ} $,所以我們?nèi)菀椎玫?$ \angle MOC $ 與 $ \angle NOD $ 的和,這樣就能求出 $ \angle MON $ 的度數(shù). 請(qǐng)你根據(jù)佳佳的做法,寫(xiě)出解答過(guò)程.
(2) 特例探究：“發(fā)現(xiàn)小組”的同學(xué)添加了“若 $ \angle MOC = \frac{1}{3} \angle AOC $, $ \angle DON = \frac{1}{3} \angle BOD $”,畫(huà)出如圖③所示圖形. 小組 2 號(hào)同學(xué)樂(lè)樂(lè)的做法：設(shè) $ \angle AOC $ 的度數(shù)為 $ x $,我們就能用含有 $ x $ 的式子表示出 $ \angle COM $ 和 $ \angle DON $ 的度數(shù),這樣就能求出 $ \angle MON $ 的度數(shù),請(qǐng)你根據(jù)樂(lè)樂(lè)的做法,寫(xiě)出解答過(guò)程.
(3) 類(lèi)比拓展：受“興趣小組”和“發(fā)現(xiàn)小組”的啟發(fā),“創(chuàng)新小組”的同學(xué)添加了“若 $ \angle MOC = \frac{1}{n} \angle AOC $, $ \angle DON = \frac{1}{n} \angle BOD $”. 請(qǐng)你直接寫(xiě)出 $ \angle MON $ 的度數(shù).
答案：(1) 因?yàn)?OM，ON 分別平分$∠AOC$，$∠BOD$，所以$∠MOC = \frac{1}{2}∠AOC$，$∠DON = \frac{1}{2}∠BOD$。因?yàn)?∠AOC + ∠BOD = 180^{\circ} - ∠COD = 90^{\circ}$，所以$∠MON = ∠MOC + ∠COD + ∠DON = \frac{1}{2}(∠AOC + ∠BOD) + 90^{\circ} = 45^{\circ} + 90^{\circ} = 135^{\circ}$。
(2) 設(shè)$∠AOC$的度數(shù)為$x$，則$∠BOD$的度數(shù)為$90^{\circ} - x$。因?yàn)?∠MOC = \frac{1}{3}∠AOC$，$∠DON = \frac{1}{3}∠BOD$，所以$∠COM + ∠DON = \frac{1}{3}(∠AOC + ∠BOD) = \frac{1}{3}(x + 90^{\circ} - x) = 30^{\circ}$，所以$∠MON = ∠MOC + ∠COD + ∠DON = 30^{\circ} + 90^{\circ} = 120^{\circ}$。
(3)$∠MON = \frac{90^{\circ}}{n} + 90^{\circ}$。解析：因?yàn)?∠MOC = \frac{1}{n}∠AOC$，$∠DON = \frac{1}{n}∠BOD$，所以$∠COM + ∠DON = \frac{1}{n}(∠AOC + ∠BOD)$，所以$∠MON = ∠MOC + ∠COD + ∠DON = \frac{1}{n}(∠AOC + ∠BOD) + 90^{\circ} = \frac{90^{\circ}}{n} + 90^{\circ}$。
歸納總結(jié)
模型 條件 結(jié)論
三等分角 $∠DCE = \frac{1}{3}∠ECA$，$∠FCE = \frac{1}{3}∠ECB$ $∠DCF = \frac{1}{3}∠ACB$
n等分角 $∠DCE = \frac{1}{n}∠ECA$，$∠FCE = \frac{1}{n}∠ECB$ $∠DCF = \frac{1}{n}∠ACB$
