18. (10分)若關(guān)于$x的方程ax + b = 0(a\neq0)的解與關(guān)于y的方程cy + d = 0(c\neq0)的解滿足\vert x - y\vert = 1$,則稱方程$ax + b = 0(a\neq0)與方程cy + d = 0(c\neq0)$是“美好方程”。例如：方程$2x + 1 = 5的解是x = 2$,方程$y - 1 = 0的解是y = 1$,$\vert x - y\vert = 1$,方程$2x + 1 = 5與方程y - 1 = 0$是“美好方程”。
(1)請(qǐng)判斷方程$5x - 3 = 2與方程2(y + 1)= 3$是不是“美好方程”,并說明理由；
(2)若關(guān)于$x的方程\frac{3x + k}{2}-x = 2k + 1與關(guān)于y的方程4y - 1 = 3$是“美好方程”,請(qǐng)求出$k$的值；
(3)若無論$m$取任何有理數(shù),關(guān)于$x的方程\frac{2x + ma}{3}-\frac{2}= m(a,b為常數(shù))與關(guān)于y的方程y + 1 = 2y - 5$是“美好方程”,求$ab$的值。
答案：(1) 不是.理由如下:因?yàn)?$ 5x - 3 = 2 $ 的解為 $ x = 1 $, $ 2(y + 1) = 3 $ 的解為 $ y = \frac{1}{2} $,所以 $ |x - y| = \left|1 - \frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2} \neq 1 $,所以方程 $ 5x - 3 = 2 $ 與方程 $ 2(y + 1) = 3 $ 不是“美好方程”. (2) 因?yàn)?$ \frac{3x + k}{2} - x = 2k + 1 $ 的解為 $ x = 3k + 2 $, $ 4y - 1 = 3 $ 的解為 $ y = 1 $,且 $ \frac{3x + k}{2} - x = 2k + 1 $ 與 $ 4y - 1 = 3 $ 是“美好方程”,所以 $ |x - y| = |3k + 2 - 1| = 1 $,所以 $ k = 0 $ 或 $ k = -\frac{2}{3} $. (3) 因?yàn)?$ y + 1 = 2y - 5 $ 的解為 $ y = 6 $,關(guān)于 $ x $ 的方程 $ \frac{2x + ma}{3} - \frac{2} = m $ ($ a,b $ 為常數(shù))與關(guān)于 $ y $ 的方程 $ y + 1 = 2y - 5 $ 是“美好方程”,所以 $ |x - y| = 1 $,所以 $ x = 5 $ 或 $ x = 7 $,所以 $ \frac{2x + ma}{3} - \frac{2} = m $ 的解為 $ x = 5 $ 或 $ x = 7 $. ① 當(dāng) $ x = 5 $ 時(shí), $ \frac{10 + ma}{3} - \frac{2} = m $,所以 $ (2a - 6)m = -20 + 3b $. 因?yàn)闊o論 $ m $ 取任何有理數(shù)都成立,所以 $ 2a - 6 = 0 $, $ -20 + 3b = 0 $,所以 $ a = 3 $, $ b = \frac{20}{3} $,所以 $ ab = 20 $; ② 當(dāng) $ x = 7 $ 時(shí), $ \frac{14 + ma}{3} - \frac{2} = m $,所以 $ (2a - 6)m = 3b - 28 $. 因?yàn)闊o論 $ m $ 取任何有理數(shù)都成立,所以 $ 2a - 6 = 0 $, $ 3b - 28 = 0 $,所以 $ a = 3 $, $ b = \frac{28}{3} $,所以 $ ab = 28 $. 綜上所述, $ ab $ 的值為 20 或 28.
解析：
(1) 不是。理由如下：
解方程$5x - 3 = 2$，得$5x=5$，$x=1$。
解方程$2(y + 1)=3$，得$2y+2=3$，$2y=1$，$y=\frac{1}{2}$。
則$|x - y|=\left|1 - \frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}\neq1$，所以不是“美好方程”。
(2) 解方程$\frac{3x + k}{2}-x = 2k + 1$，
去分母得$3x + k - 2x=4k + 2$，
$x=3k + 2$。
解方程$4y - 1 = 3$，得$4y=4$，$y=1$。
因?yàn)閮煞匠淌恰懊篮梅匠獭保?|x - y|=|3k + 2 - 1|=1$，
即$|3k + 1|=1$，
$3k + 1=1$或$3k + 1=-1$，
解得$k=0$或$k=-\frac{2}{3}$。
(3) 解方程$y + 1 = 2y - 5$，得$y=6$。
因?yàn)閮煞匠淌恰懊篮梅匠獭?，所?|x - 6|=1$，$x=5$或$x=7$。
解方程$\frac{2x + ma}{3}-\frac{2}=m$，
去分母得$4x + 2ma - 3b=6m$，
$2ma - 6m=3b - 4x$，
$m(2a - 6)=3b - 4x$。
因?yàn)闊o論$m$取何值都成立，所以$2a - 6=0$且$3b - 4x=0$。
當(dāng)$x=5$時(shí)，$3b=20$，$b=\frac{20}{3}$，$a=3$，$ab=3×\frac{20}{3}=20$。
當(dāng)$x=7$時(shí)，$3b=28$，$b=\frac{28}{3}$，$a=3$，$ab=3×\frac{28}{3}=28$。
綜上，$ab=20$或$28$。
19. (12分)已知數(shù)軸上點(diǎn)$A與點(diǎn)B$的距離為16個(gè)單位長(zhǎng)度,點(diǎn)$A$在原點(diǎn)的左側(cè),到原點(diǎn)的距離為26個(gè)單位長(zhǎng)度,點(diǎn)$B在點(diǎn)A$的右側(cè),點(diǎn)$C表示的數(shù)與點(diǎn)B$表示的數(shù)互為相反數(shù),動(dòng)點(diǎn)$P從點(diǎn)A$出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)$C$移動(dòng),設(shè)移動(dòng)時(shí)間為$t$s。
(1)點(diǎn)$A$表示的數(shù)為
-26
,點(diǎn)$B$表示的數(shù)為
-10
,點(diǎn)$C$表示的數(shù)為
10
。
(2)用含$t的代數(shù)式表示動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)C$的距離：$PA= $
$t$
,$PC= $
$36 - t$
。
(3)當(dāng)點(diǎn)$P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B$時(shí),點(diǎn)$Q從點(diǎn)A$出發(fā),以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)$C$運(yùn)動(dòng),點(diǎn)$Q到達(dá)點(diǎn)C$后,再立即以同樣的速度返回,最后回到點(diǎn)$A$。
①在點(diǎn)$Q向點(diǎn)C$運(yùn)動(dòng)的過程中,能否追上點(diǎn)$P$？若能,請(qǐng)求出點(diǎn)$Q運(yùn)動(dòng)幾秒追上點(diǎn)P$。
②在點(diǎn)$Q$開始運(yùn)動(dòng)后,$P$,$Q$兩點(diǎn)之間的距離能否為2個(gè)單位長(zhǎng)度？如果能,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)$P$表示的數(shù)；如果不能,請(qǐng)說明理由。
(3)① 能,在點(diǎn) $ Q $ 向點(diǎn) $ C $ 運(yùn)動(dòng)的過程中,設(shè)點(diǎn) $ Q $ 運(yùn)動(dòng) $ m \, \text{s} $ 追上點(diǎn) $ P $,根據(jù)題意,得 $ 3m = m + 16 $,解得 $ m = 8 $.即在點(diǎn) $ Q $ 向點(diǎn) $ C $ 運(yùn)動(dòng)的過程中,點(diǎn) $ Q $ 運(yùn)動(dòng) 8 s 即可追上點(diǎn) $ P $. ② 能,設(shè)點(diǎn) $ Q $ 運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 $ x \, \text{s} $,分下面 4 種情況:當(dāng)點(diǎn) $ Q $ 從點(diǎn) $ A $ 向點(diǎn) $ C $ 運(yùn)動(dòng)時(shí),如果點(diǎn) $ Q $ 在點(diǎn) $ P $ 的左側(cè),則根據(jù)題意可得 $ x + 16 - 3x = 2 $,解得 $ x = 7 $,此時(shí)點(diǎn) $ P $ 表示的數(shù)是 -3;如果點(diǎn) $ Q $ 在點(diǎn) $ P $ 的右側(cè),則根據(jù)題意可得 $ 3x - (x + 16) = 2 $,解得 $ x = 9 $,此時(shí)點(diǎn) $ P $ 表示的數(shù)是 -1;當(dāng)點(diǎn) $ Q $ 從點(diǎn) $ C $ 返回到點(diǎn) $ A $ 時(shí),如果點(diǎn) $ Q $ 在點(diǎn) $ P $ 的右側(cè),則根據(jù)題意可得 $ 3x + (x + 16) + 2 = 2 × 36 $,解得 $ x = \frac{27}{2} $,此時(shí)點(diǎn) $ P $ 表示的數(shù)是 $ \frac{7}{2} $;如果點(diǎn) $ Q $ 在點(diǎn) $ P $ 的左側(cè),則根據(jù)題意可得 $ 3x + (x + 16) = 2 × 36 + 2 $,解得 $ x = \frac{29}{2} $,此時(shí)點(diǎn) $ P $ 表示的數(shù)是 $ \frac{9}{2} $.即在點(diǎn) $ Q $ 開始運(yùn)動(dòng)后, $ P,Q $ 兩點(diǎn)之間的距離能為 2 個(gè)單位長(zhǎng)度,此時(shí)點(diǎn) $ P $ 表示的數(shù)分別是 $ -3,-1,\frac{7}{2},\frac{9}{2} $.
答案：(1) -26 -10 10 (2) $ t $ $ 36 - t $ (3) ① 能,在點(diǎn) $ Q $ 向點(diǎn) $ C $ 運(yùn)動(dòng)的過程中,設(shè)點(diǎn) $ Q $ 運(yùn)動(dòng) $ m \, \text{s} $ 追上點(diǎn) $ P $,根據(jù)題意,得 $ 3m = m + 16 $,解得 $ m = 8 $.即在點(diǎn) $ Q $ 向點(diǎn) $ C $ 運(yùn)動(dòng)的過程中,點(diǎn) $ Q $ 運(yùn)動(dòng) 8 s 即可追上點(diǎn) $ P $. ② 能,設(shè)點(diǎn) $ Q $ 運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 $ x \, \text{s} $,分下面 4 種情況:當(dāng)點(diǎn) $ Q $ 從點(diǎn) $ A $ 向點(diǎn) $ C $ 運(yùn)動(dòng)時(shí),如果點(diǎn) $ Q $ 在點(diǎn) $ P $ 的左側(cè),則根據(jù)題意可得 $ x + 16 - 3x = 2 $,解得 $ x = 7 $,此時(shí)點(diǎn) $ P $ 表示的數(shù)是 -3;如果點(diǎn) $ Q $ 在點(diǎn) $ P $ 的右側(cè),則根據(jù)題意可得 $ 3x - (x + 16) = 2 $,解得 $ x = 9 $,此時(shí)點(diǎn) $ P $ 表示的數(shù)是 -1;當(dāng)點(diǎn) $ Q $ 從點(diǎn) $ C $ 返回到點(diǎn) $ A $ 時(shí),如果點(diǎn) $ Q $ 在點(diǎn) $ P $ 的右側(cè),則根據(jù)題意可得 $ 3x + (x + 16) + 2 = 2 × 36 $,解得 $ x = \frac{27}{2} $,此時(shí)點(diǎn) $ P $ 表示的數(shù)是 $ \frac{7}{2} $;如果點(diǎn) $ Q $ 在點(diǎn) $ P $ 的左側(cè),則根據(jù)題意可得 $ 3x + (x + 16) = 2 × 36 + 2 $,解得 $ x = \frac{29}{2} $,此時(shí)點(diǎn) $ P $ 表示的數(shù)是 $ \frac{9}{2} $.即在點(diǎn) $ Q $ 開始運(yùn)動(dòng)后, $ P,Q $ 兩點(diǎn)之間的距離能為 2 個(gè)單位長(zhǎng)度,此時(shí)點(diǎn) $ P $ 表示的數(shù)分別是 $ -3,-1,\frac{7}{2},\frac{9}{2} $.
解析：
(1) -26；-10；10
(2) $ t $；$ 36 - t $
(3) ① 能，設(shè)點(diǎn) $ Q $ 運(yùn)動(dòng) $ m \, \text{s} $ 追上點(diǎn) $ P $，根據(jù)題意得：
$ 3m = m + 16 $
解得 $ m = 8 $
② 能，設(shè)點(diǎn) $ Q $ 運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 $ x \, \text{s} $，分四種情況：
當(dāng) $ Q $ 從 $ A $ 向 $ C $ 運(yùn)動(dòng)且在 $ P $ 左側(cè)時(shí)：
$ x + 16 - 3x = 2 $
解得 $ x = 7 $，此時(shí)點(diǎn) $ P $ 表示的數(shù)是 -3
當(dāng) $ Q $ 從 $ A $ 向 $ C $ 運(yùn)動(dòng)且在 $ P $ 右側(cè)時(shí)：
$ 3x - (x + 16) = 2 $
解得 $ x = 9 $，此時(shí)點(diǎn) $ P $ 表示的數(shù)是 -1
當(dāng) $ Q $ 從 $ C $ 返回 $ A $ 且在 $ P $ 右側(cè)時(shí)：
$ 3x + (x + 16) + 2 = 2×36 $
解得 $ x = \frac{27}{2} $，此時(shí)點(diǎn) $ P $ 表示的數(shù)是 $ \frac{7}{2} $
當(dāng) $ Q $ 從 $ C $ 返回 $ A $ 且在 $ P $ 左側(cè)時(shí)：
$ 3x + (x + 16) = 2×36 + 2 $
解得 $ x = \frac{29}{2} $，此時(shí)點(diǎn) $ P $ 表示的數(shù)是 $ \frac{9}{2} $
綜上，點(diǎn) $ P $ 表示的數(shù)分別是 -3，-1，$ \frac{7}{2} $，$ \frac{9}{2} $
