+跟蹤練習(xí)2(2025·南京江寧區(qū)期末)小春在計(jì)算除法時(shí),把除數(shù)54誤寫成了45,結(jié)果得到的商是16余3,正確的結(jié)果應(yīng)該是(
13
)……(
21
)。
答案：13 21
解析：
解：45×16+3=720+3=723
723÷54=13……21
13 21
例3(教材P29)在□里填合適的數(shù)字。
第一個(gè)豎式從左到右、從上到下填入的數(shù)字依次為：2、3、2、2；第二個(gè)豎式從左到右、從上到下填入的數(shù)字依次為：1、5、2、4、1、2
答案：解析：
第一個(gè)豎式：
從個(gè)位開始分析，$6 - 0 = 6$，所以下方的減數(shù)個(gè)位是$0$（已給出）。
十位上，$□ - 4 = 6$，顯然這里的$□$應(yīng)該是$0$（向百位借$1$后變?yōu)?10 - 4 = 6$），同時(shí)百位的$5$被借走$1$變?yōu)?4$。
百位上，$4 - □ = 4$，所以減數(shù)的百位$□$應(yīng)該是$0$（但考慮到十位借位的情況，實(shí)際應(yīng)為$4 - 0（借位后仍為原數(shù)）- 4 = 0$，即不借位時(shí)直接相等），但這里我們主要關(guān)注十位的借位情況，百位直接相減得出$0$。
由于十位需要借位，千位的$2$減去減數(shù)千位的數(shù)字后必須仍能保持為$2$（或經(jīng)過借位后變?yōu)?2$），顯然減數(shù)千位應(yīng)為$0$（不借位）或小于$2$的數(shù)（借位后），但考慮到最高位不能是$0$，且需要借位使得十位能夠進(jìn)行$10 - 4$的運(yùn)算，所以這里的借位應(yīng)來(lái)自百位向千位的借位（即把$2$看成$1$后借$1$給百位，自己變?yōu)?1$，但由于減數(shù)千位是$0$，所以$1 - 0 = 1$，再向萬(wàn)位借$1$后變?yōu)?2$），但直接分析可知減數(shù)千位填$0$，萬(wàn)位$2$落下即可（因?yàn)椴簧婕叭f(wàn)位的運(yùn)算）。但簡(jiǎn)化分析，我們直接看千位結(jié)果，$2 - 0（考慮借位后的實(shí)際影響）= 2$（或理解為$2$減去任何小于它的正整數(shù)后，通過借位都能保持為$2$或更大的數(shù)，但這里只關(guān)心結(jié)果為$2$，所以填$0$），所以千位$□$填$3$（這是通過$46 ÷ 23 = 2$反推得出的除數(shù)）。
所以，第一個(gè)豎式填完后為：
$\begin{array}{r r r r}&2&3 \\ \hline &2&□&5&0&6 \\ -&-&-&4&0 \\ \hline &-&-&4&6 \end{array}$
（其中下方的減數(shù)按借位分析后應(yīng)為$040$，但最高位$0$不寫，且由于我們是從結(jié)果反推，所以直接寫$40$表示十位和百位的減數(shù)，千位已知為$0$，萬(wàn)位$2$落下即可）
進(jìn)一步補(bǔ)全得：
$\begin{array}{r r r r}&2&3 \\ \hline &2&3&5&0&6 \\ -&2&2&4&0 \\ \hline &&&4&6 \\ -&4&6\\ \hline &&&0\end{array}$
（注意這里的$2240$是通過分析得出的實(shí)際減數(shù)，與最初的$□4□0$對(duì)應(yīng)）
第二個(gè)豎式：
同樣從個(gè)位開始，$0 - 0 = 0$，所以減數(shù)的個(gè)位是$0$（已給出，此步實(shí)際不產(chǎn)生新信息）。
十位上，由于結(jié)果為$0$，且沒有向百位借位（因?yàn)榘傥唤Y(jié)果也是確定的數(shù)字，且沒有進(jìn)一步的借位標(biāo)記），所以$□ - □ = 0$，即兩個(gè)$□$內(nèi)的數(shù)字相同。但由于我們是從結(jié)果反推，且知道這是一個(gè)減法豎式，所以更關(guān)心的是如何通過結(jié)果來(lái)確定這些$□$。
百位上，$□ - 2 = 1$（考慮十位可能借位，但此處分析可暫不考慮借位，因?yàn)榻Y(jié)果已給出），所以被減數(shù)的百位$□$應(yīng)為$3$（$3 - 2 = 1$）。
千位上，由于百位沒有向千位借位（或借位后已還原），所以$1 - □ = 1$，這里的$□$應(yīng)為$0$。但同樣，我們更關(guān)心如何通過結(jié)果來(lái)確定減數(shù)的千位。由于這是一個(gè)三位數(shù)減三位數(shù)的豎式，且結(jié)果仍為三位數(shù)（或可看作省略了萬(wàn)位$0$的三位數(shù)），所以減數(shù)的千位不能使結(jié)果變?yōu)閮晌粩?shù)。因此，減數(shù)的千位應(yīng)小于或等于被減數(shù)的千位（這里被減數(shù)千位是$1$，但由于是最高位且不可能為$0$，所以實(shí)際分析時(shí)考慮的是它作為有效數(shù)字的位置）。由于結(jié)果千位為$1$，且沒有向萬(wàn)位借位，所以減數(shù)的千位只能是$0$（使得$1 - 0 = 1$）。但這里我們實(shí)際上是通過結(jié)果和豎式的結(jié)構(gòu)來(lái)反推，更直接的方法是看除式的商。
由于$360 ÷ □□ = 15$，可以通過試除或分解質(zhì)因數(shù)來(lái)找到除數(shù)。但這里我們直接給出答案：除數(shù)是$24$（因?yàn)?360 ÷ 15 = 24$）。
所以，第二個(gè)豎式填完后（只關(guān)注減法部分，除式用于驗(yàn)證）為：
$\begin{array}{r r r r}&1&5 \\ \hline &3&6&0 \\ -&2&□&0 \\ \hline &1&□&0 \end{array}$
進(jìn)一步補(bǔ)全得（注意這里我們實(shí)際上是通過除式的結(jié)果來(lái)補(bǔ)全減法的減數(shù)）：
$\begin{array}{r r r r}&1&5 \\ \hline &3&6&0 \\ -&2&4&0 \\ \hline &1&2&0 \end{array}$
（減數(shù)為$240$，與除式$360 ÷ 15 = 24$中的除數(shù)$24$（看作$240$除以$10$的簡(jiǎn)化形式）相對(duì)應(yīng)）
答案：
第一個(gè)豎式：
$\begin{array}{r r r r r}&2&3 \\ \hline &2&3&5&0&6 \\ -&2&2&4&0 \\ \hline &&&4&6 \\ -&4&6\\ \hline &&&0\end{array}$
第二個(gè)豎式（答案不唯一，因?yàn)槭缓桶傥坏?□$可以相同且為$0-9$內(nèi)的任何數(shù)字，但這里給出的是通過除式反推得出的答案）：
$\begin{array}{r r r r}&1&5 \\ \hline &3&6&0 \\ -&2&4&0 \\ \hline &1&2&0 \end{array}$
例1 用簡(jiǎn)便方法計(jì)算下面各題。
$400 ÷ 25$ $270 ÷ 54$
答案：解析：
第一個(gè)算式 $400 ÷ 25$ 可以通過商不變的規(guī)律，把被除數(shù)和除數(shù)都乘4，使除數(shù)變成100，從而簡(jiǎn)化計(jì)算。
第二個(gè)算式 $270 ÷ 54$ 可以先把被除數(shù)和除數(shù)都除以9，將較大的數(shù)轉(zhuǎn)化成較小的數(shù)，再計(jì)算比較簡(jiǎn)便。
答案：
$400 ÷ 25$
$= (400 × 4) ÷ (25 × 4)$
$= 1600 ÷ 100$
$= 16$
$270 ÷ 54$
$= (270 ÷ 9) ÷ (54 ÷ 9)$
$= 30 ÷ 6$
$= 5$
