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零五網(wǎng) › 全部參考答案› 5年中考3年模擬答案 › 2025年5年中考3年模擬九年級數(shù)學(xué)上冊人教版 第84頁解析答案
1. 學(xué)科多解法 [2024 四川涼山州會東二模]如圖,矩形$ABCD的對角線相交于O$,過點$O作OE\perp BD$,交$AD于點E$,連接$BE$,若$\angle ABE= 20^{\circ}$,則$\angle AOE$的大小是( )

A. $10^{\circ}$
B. $15^{\circ}$
C. $20^{\circ}$
D. $30^{\circ}$
答案：
C 【解法一】∵ 四邊形 $ABCD$ 是矩形，∴ $∠BAE = 90^{\circ}$，∵ $OE⊥BD$，∴ $∠BOE = 90^{\circ}$，∵ $∠BAE + ∠BOE = 180^{\circ}$，∴ $A$、$B$、$O$、$E$ 四點共圓，∴ $∠AOE = ∠ABE = 20^{\circ}$。故選 C。
【解法二】如圖，取 $BE$ 的中點 $K$，連接 $AK$、$OK$，∴ $BK = EK$。
∵ 四邊形 $ABCD$ 是矩形，
∴ $∠BAE = 90^{\circ}$，∴ $AK = EK$。
∵ $EO⊥BD$，∴ $∠BOE = 90^{\circ}$，∴ $OK = BK$，
∴ $KA = KB = KO = KE$，∴ $A$、$B$、$O$、$E$ 四點都在 $⊙K$ 上，
∴ $∠AOE = ∠ABE = 20^{\circ}$。故選 C。
2. 如圖,已知在扇形$AOB$中,$\angle AOB= 120^{\circ}$,半徑$OA= OB= 8$。$P為弧AB$上的動點,過點$P作PM\perp OA于點M$,$PN\perp OB于點N$,點$M$,$N分別在半徑OA$,$OB$上,連接$MN$。點$D是\triangle PMN$的外心,則點$D$運動的路徑長為______。

答案：
答案 $\frac{4\pi}{3}$
解析 如圖，連接 $OP$，∵ $PM⊥OA$，$PN⊥OB$，∴ $∠PMO = ∠PNO = 90^{\circ}$，∴ $M$，$O$，$N$，$P$ 四點共圓，且 $OP$ 為所在圓的直徑。又 ∵ 點 $D$ 是 $△PMN$ 的外心，∴ $D$ 為 $OP$ 的中點，∴ $OD = \frac{1}{2}OP = \frac{1}{2}OA = 4$。點 $P$ 在弧 $AB$ 上運動，其路徑是一段弧，由題意可知，當(dāng)點 $M$ 與點 $O$ 重合時，$∠PMB = 30^{\circ}$，當(dāng)點 $N$ 與點 $O$ 重合時，$∠PNA = 30^{\circ}$，∴ 點 $P$ 運動路徑所對的圓心角為 $120^{\circ} - 30^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$，∴ 點 $D$ 在以 $O$ 為圓心，$4$ 為半徑的圓上運動，且點 $D$ 運動路徑所對的圓心角為 $60^{\circ}$，∴ 點 $D$ 運動的路徑長為 $\frac{60\pi×4}{180} = \frac{4}{3}\pi$。
3. 如圖,$AB\perp BC$,$AB= 5$,點$E$、$F分別是線段AB$、射線$BC$上的動點,以$EF為斜邊作等腰Rt\triangle DEF$,$\angle EDF= 90^{\circ}$,連接$AD$,則$AD$的最小值為______。

答案：
答案 $\frac{5\sqrt{2}}{2}$
解析 如圖，連接 $BD$ 并延長。∵ $AB⊥BC$，∴ $∠ABC = 90^{\circ}$，又 ∵ $∠EDF = 90^{\circ}$，∴ $B$，$E$，$D$，$F$ 四點共圓。∵ $△DEF$ 為等腰直角三角形，∴ $∠DEF = ∠DFE = 45^{\circ}$，∴ $∠DBF = ∠DEF = 45^{\circ}$，∴ $∠DBF = ∠DBE = 45^{\circ}$，∴ 點 $D$ 在 $∠ABC$ 的平分線上運動，∴ 當(dāng) $AD⊥BD$ 時，$AD$ 取最小值，∴ $AD$ 的最小值為 $\frac{\sqrt{2}}{2}AB = \frac{5\sqrt{2}}{2}$。
4. 如圖,已知$AB= AC= AD$,$\angle CBD= 44^{\circ}$,則$\angle CAD$的度數(shù)為( )

A. $68^{\circ}$
B. $88^{\circ}$
C. $90^{\circ}$
D. $112^{\circ}$
答案：
B ∵ $AB = AC = AD$，∴ $B$，$C$，$D$ 三點在以點 $A$ 為圓心，$AB$ 長為半徑的圓上，如圖所示，
B
∵ $∠CBD = 44^{\circ}$，∴ $∠CAD = 2∠CBD = 88^{\circ}$。故選 B。
5. [2024 安徽合肥蜀山期末]如圖,點$A$,$B的坐標(biāo)分別為(2,0)$,$(0,2)$,點$C$為坐標(biāo)平面內(nèi)一點,$BC= 1$,點$M為線段AC$的中點,連接$OM$,則$OM$的最大值為( )

A. $\sqrt{2}+\frac{1}{2}$
B. $\sqrt{2}+1$
C. $2\sqrt{2}+1$
D. $2\sqrt{2}-\frac{1}{2}$
答案：
A 以 $B$ 為圓心，$1$ 為半徑作 $⊙B$，在 $x$ 軸的負(fù)半軸上取一點 $D$，使 $OD = OA = 2$，連接 $CD$，∵ $BC = 1$，∴ 點 $C$ 在 $⊙B$ 上，∵ 點 $M$ 為線段 $AC$ 的中點，∴ $AM = CM$，又 $OD = OA$，∴ $OM$ 是 $△ACD$ 的中位線，∴ $OM = \frac{1}{2}CD$，易知當(dāng) $D$，$B$，$C$ 三點共線時，如圖，$CD$ 取得最大值，即 $OM$ 取得最大值，∵ $OB = OD = 2$，$∠BOD = 90^{\circ}$，∴ $BD = \sqrt{OB^{2} + OD^{2}} = 2\sqrt{2}$，∴ $CD = 2\sqrt{2} + 1$，∴ $OM = \frac{1}{2}CD = \sqrt{2} + \frac{1}{2}$，∴ $OM$ 的最大值為 $\sqrt{2} + \frac{1}{2}$。故選 A。
6. [2024 山東煙臺中考]如圖,在$□ ABCD$中,$\angle C= 120^{\circ}$,$AB= 8$,$BC= 10$,$E為邊CD$的中點,$F為邊AD$上的一動點,將$\triangle DEF沿EF翻折得\triangle D'EF$,連接$AD'$,$BD'$,則$\triangle ABD'$面積的最小值為______。

答案：
答案 $20\sqrt{3} - 16$
解析 由翻折得 $D'E = DE$，
∵ $E$ 是 $CD$ 的中點，∴ $D'E = DE = CE$，
即點 $D'$ 的運動軌跡是以點 $E$ 為圓心，$\frac{1}{2}CD$ 長為半徑的圓弧。
如圖，過點 $C$ 作 $CG⊥AB$ 于點 $G$，過點 $E$ 作 $EH⊥BA$ 交 $BA$ 的延長線于點 $H$，交圓 $E$ 于 $D'$，則 $HE = CG$，此時 $D'$ 到邊 $AB$ 的距離最小，最小值為 $D'H$ 的長，即此時 $△ABD'$ 面積的值最小。

∵ 在 $□ABCD$ 中，$∠BCD = 120^{\circ}$，
∴ $∠ABC = 60^{\circ}$，∴ 在 $Rt△BCG$ 中，$∠BCG = 30^{\circ}$，
∵ $BC = 10$，∴ $CG = 5\sqrt{3}$，∴ $EH = 5\sqrt{3}$，
∵ $CD = AB = 8$，∴ $D'E = DE = 4$，∴ $HD' = 5\sqrt{3} - 4$，
∴ $△ABD'$ 面積的最小值為 $\frac{1}{2}×8×(5\sqrt{3} - 4) = 20\sqrt{3} - 16$。
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