1.一條弧所對的圓心角為$135^{\circ }$,弧長等于半徑為3 cm的圓的周長的5倍,則這條弧所在圓的半徑為(
40
)
A.45 cm
B.40 cm
C.35 cm
D.30 cm
答案：B 設(shè)這條弧所在圓的半徑為 $ r $ cm，由題意得 $ \frac{135\pi r}{180} = 2\pi \times 3 \times 5 $，解得 $ r = 40 $。
2.「2024四川成都中考」如圖,在扇形AOB中,$OA= 6$,$∠AOB= 120^{\circ }$,則$\overset{\frown }{AB}$的長為
4π
.
答案：答案 $ 4\pi $
解析 由題意得 $ \overset{\frown}{AB} $ 的長 $ = \frac{120\pi \times 6}{180} = 4\pi $。
3.「2024云南文山廣南模擬」在一個半徑為27 cm的圓上,截取一段長度為$21π$ cm的圓弧,則這段圓弧所對的圓心角的度數(shù)為
$140^{\circ} $
.
答案：答案 $ 140^{\circ} $
解析 設(shè)這段圓弧所對的圓心角的度數(shù)為 $ n^{\circ} $，由題意得，$ 21\pi = \frac{n\pi \times 27}{180} $，解得 $ n = 140 $，∴ 這段圓弧所對的圓心角的度數(shù)為 $ 140^{\circ} $。
4.「2023上海浦東新區(qū)期末」小麗家時鐘的分針長5 cm,時針的長度是分針的$\frac {3}{5}$,從下午1點到下午5點,時針針尖走過
$2\pi$
cm.
答案：答案 $ 2\pi $
解析 由題意得，時針的長度為 $ 5 \times \frac{3}{5} = 3 $ (cm)，時針從下午 1 點到下午 5 點旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為 $ 120^{\circ} $，∴ 從下午 1 點到下午 5 點，時針針尖走過的路徑為 $ \frac{120\pi \times 3}{180} = 2\pi $ (cm)。
5.跨物理滑輪「2025江蘇宿遷泗陽期中」物理實驗課上,同學們分組研究定滑輪“可以改變用力的方向,但不能省力”時,愛動腦筋的小穎發(fā)現(xiàn)：重物上升時,滑輪上點A的位置在不斷改變,已知滑輪的半徑為12 cm,當重物上升$4π$ cm時,滑輪上點A轉(zhuǎn)過的度數(shù)為____
60°
.
答案：答案 $ 60^{\circ} $
解析 設(shè)滑輪上點 $ A $ 轉(zhuǎn)過的度數(shù)為 $ n^{\circ} $，由題意可知，點 $ A $ 轉(zhuǎn)過的弧長為 $ 4\pi $ cm，∴ $ \frac{n\pi \times 12}{180} = 4\pi $，解得 $ n = 60 $，∴ 滑輪上點 $ A $ 轉(zhuǎn)過的度數(shù)為 $ 60^{\circ} $。
6.「2024四川廣安中考,」如圖,在等腰三角形ABC中,$AB= AC= 10$,$∠C= 70^{\circ }$,以AB為直徑作半圓,與AC,BC分別相交于點D,E,則$\overset{\frown }{DE}$的長度為( )
A.$\frac {π}{9}$
B.$\frac {5π}{9}$
C.$\frac {10π}{9}$
D.$\frac {25π}{9}$
答案：C 如圖，連接 $ OD $，$ OE $，$ AE $，
∵ $ AB $ 為半圓的直徑，∴ $ \angle AEB = 90^{\circ} $，即 $ AE \perp BC $，
又 ∵ $ AB = AC $，∴ $ AE $ 平分 $ \angle CAB $，$ \angle ABC = \angle C = 70^{\circ} $，
在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle CAB = 180^{\circ} - \angle ABC - \angle C = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 70^{\circ} = 40^{\circ} $，∴ $ \angle DAE = \frac{1}{2} \angle CAB = 20^{\circ} $，
∵ $ \overset{\frown}{DE} = \overset{\frown}{DE} $，∴ $ \angle DOE = 2 \angle DAE = 40^{\circ} $，
∵ $ AB = 10 $，∴ $ OD = OA = 5 $，
∴ $ \overset{\frown}{DE} $ 的長度為 $ \frac{40\pi \times 5}{180} = \frac{10\pi}{9} $，故選 C。
7.「2024內(nèi)蒙古興安盟、呼倫貝爾中考,」為了促進城鄉(xiāng)協(xié)調(diào)發(fā)展,實現(xiàn)共同富裕,某鄉(xiāng)鎮(zhèn)計劃修建公路.如圖,$\overset{\frown }{AB}與\overset{\frown }{CD}$是公路彎道的外、內(nèi)邊線,它們有共同的圓心O,所對的圓心角都是$72^{\circ }$,點A,C,O在同一條直線上,公路彎道外側(cè)邊線比內(nèi)側(cè)邊線多36米,則公路寬AC的長是____
28.7
米.(π取3.14,計算結(jié)果精確到0.1)
答案：答案 $ 28.7 $
解析 由題意得 $ \frac{72\pi \cdot OA}{180} - \frac{72\pi \cdot OC}{180} = 36 $，∴ $ OA - OC = \frac{90}{\pi} \approx 28.7 $ (米) ∴ $ AC = OA - OC = 28.7 $ 米。
8.「2024吉林長春中考,」一塊含$30^{\circ }$角的直角三角尺ABC按如圖所示的方式擺放,邊AB在直線l上,$AB= 12$ cm.現(xiàn)將該三角尺繞點B順時針旋轉(zhuǎn),使點C的對應(yīng)點$C'$落在直線l上,則點A經(jīng)過的路徑長至少為
8π
cm.(結(jié)果保留π)
答案：答案 $ 8\pi $
解析 由題意得，點 $ A $ 經(jīng)過的路徑是以 $ B $ 為圓心的弧 $ AA' $?！?$ \angle CAB = 30^{\circ} $，$ \angle C = 90^{\circ} $，∴ $ \angle ABC = 60^{\circ} $，∴ $ \angle A'BC' = 60^{\circ} $，∴ $ \angle ABA' = 120^{\circ} $，∴ 弧 $ AA' $ 的長度為 $ \frac{120 \times \pi \times 12}{180} = 8\pi $ (cm)。
9.新考向數(shù)學文化「2024山東濰坊模擬,」《夢溪筆談》是我國古代科技著作,其中記錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”.如圖,$\overset{\frown }{AB}$是以點O為圓心,OA長為半徑的圓弧,N是AB的中點,$MN⊥AB$.“會圓術(shù)”給出$\overset{\frown }{AB}$的長l的近似值計算公式：$l= AB+\frac {MN^{2}}{OA}$.當$OA= 4$,$∠AOB= 60^{\circ }$時,l的值為____.
答案：答案 $ 11 - 4\sqrt{3} $
解析 連接 $ ON $，∵ $ OA = OB $，$ \angle AOB = 60^{\circ} $，∴ $ \triangle OAB $ 是等邊三角形，∴ $ AB = OA = 4 $，∵ $ N $ 是 $ AB $ 的中點，∴ $ ON \perp AB $，∵ $ MN \perp AB $，∴ $ M $、$ N $、$ O $ 共線，由 $ \angle AOB = 60^{\circ} $ 得 $ \angle AON = 30^{\circ} $，∴ $ AN = \frac{1}{2} OA = 2 $，∴ $ ON = \sqrt{OA^{2} - AN^{2}} = 2\sqrt{3} $，∵ $ OM = OA = 4 $，∴ $ MN = OM - ON = 4 - 2\sqrt{3} $，∴ $ l = AB + \frac{MN^{2}}{OA} = 4 + \frac{(4 - 2\sqrt{3})^{2}}{4} = 11 - 4\sqrt{3} $。
