1.「2025云南昆明尋甸月考」下列關(guān)于x的方程一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根的是 (
D
)
A. $k^{2}x^{2}-4x-4= 0$
B. $x^{2}-4x+5= 0$
C. $x^{2}-4x+k= 0$
D. $(k^{2}+1)x^{2}= 0$
答案：D A. 當(dāng)$k=0$時(shí)，原方程為$-4x - 4 = 0$，有實(shí)數(shù)根$x = -1$；當(dāng)$k \neq 0$時(shí)，$\Delta = 16 + 16k^{2} ＞ 0$，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故原方程不一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，不符合題意。B. $\Delta = 16 - 4 \times 5 = -4 ＜ 0$，沒有實(shí)數(shù)根，不符合題意。C. $\Delta = 16 - 4k$，當(dāng)$16 - 4k ＜ 0$時(shí)，沒有實(shí)數(shù)根，不符合題意。D. $\Delta = 0$，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，符合題意。故選D。
2.「2025河北石家莊期中」在平面直角坐標(biāo)系中,若一次函數(shù)$y= -2x+m$的圖象如圖所示,則關(guān)于x的方程$mx^{2}+x+2= 0$的根的情況是 (
A
)
A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根
D.沒有實(shí)數(shù)根
答案：A 由題中圖象可得$m ＜ 0$，$\because mx^{2} + x + 2 = 0$，$\therefore \Delta = 1^{2} - 4m \times 2 = 1 - 8m ＞ 0$，$\therefore$方程$mx^{2} + x + 2 = 0$有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。故選A。
3.「2024甘肅蘭州中考」關(guān)于x的一元二次方程$9x^{2}-6x+c= 0$有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則$c= $ (
D
)
A.-9
B.4
C.-1
D.1
答案：D $\because$關(guān)于$x$的一元二次方程$9x^{2} - 6x + c = 0$有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，$\therefore \Delta = (-6)^{2} - 4 \times 9 \times c = 0$，解得$c = 1$。故選D。
4.「2024黑龍江龍東地區(qū)中考」關(guān)于x的一元二次方程$(m-2)x^{2}+4x+2= 0$有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則m的取值范圍是 (
D
)
A. $m≤4$
B. $m≥4$
C. $m≥-4且m≠2$
D. $m≤4且m≠2$
答案：D 根據(jù)題意，得$\begin{cases}16 - 4(m - 2) \times 2 \geq 0, \\ m - 2 \neq 0,\end{cases}$解得$m \leq 4$且$m \neq 2$。故選D。
5.若恰好只有一個(gè)實(shí)數(shù)a是方程$(k^{2}-9)x^{2}-2(k+1)x+1= 0$的根,則k的值為
±3或-5
.
答案：答案 $\pm 3$或$-5$
解析 ①當(dāng)原方程是一元一次方程時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則$k^{2} - 9 = 0$，解得$k = \pm 3$，此時(shí)$-2(k + 1) \neq 0$，滿足條件；
②當(dāng)原方程是一元二次方程時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則$\Delta = b^{2} - 4ac = 0$，
即$4(k + 1)^{2} - 4(k^{2} - 9) = 0$，解得$k = -5$。
綜上，$k$的值為$\pm 3$或$-5$。
6.「2025江西新余渝水月考」已知關(guān)于x的一元二次方程$x^{2}-5x+6-p^{2}= 0$,求證:無論p取何值,方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
答案：證明 $\because x^{2} - 5x + 6 - p^{2} = 0$，$\therefore a = 1$，$b = -5$，$c = 6 - p^{2}$，
$\therefore \Delta = b^{2} - 4ac = (-5)^{2} - 4(6 - p^{2}) = 25 - 24 + 4p^{2} = 4p^{2} + 1$，
$\because p^{2} \geq 0$，$\therefore 4p^{2} + 1 \geq 1$，$\therefore \Delta ＞ 0$，
$\therefore$方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。
7.「2025江蘇連云港灌云期中」關(guān)于x的方程$2x^{2}+(m+2)x+m= 0$.
(1)求證:無論m取何值,方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
(2)請(qǐng)取一個(gè)合適的m值,并求此時(shí)方程的根.
答案：解析 (1) 證明：$\because 2x^{2} + (m + 2)x + m = 0$，
$\therefore a = 2$，$b = m + 2$，$c = m$，
$\therefore \Delta = b^{2} - 4ac = (m + 2)^{2} - 8m = (m - 2)^{2} \geq 0$，
$\therefore$無論$m$取何值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。
(2) (答案不唯一) 取$m = -2$，則方程變?yōu)?2x^{2} - 2 = 0$，解得$x_{1} = 1$，$x_{2} = -1$，
$\therefore$當(dāng)$m = -2$時(shí)，方程的兩根為$x_{1} = 1$，$x_{2} = -1$。
8.「2025山東青島嶗山月考」已知$x_{1},x_{2}$是關(guān)于x的方程$x^{2}-2(m+1)x+m^{2}+5= 0$的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,等腰$\triangle ABC$的一邊長(zhǎng)為7,若$x_{1},x_{2}恰好是\triangle ABC$另外兩邊長(zhǎng),則$\triangle ABC$的周長(zhǎng)為 (
B
)
A.13
B.17
C.29
D.17或29
答案：B 若等腰$\triangle ABC$的底邊長(zhǎng)為7，則$\Delta = [-2(m + 1)]^{2} - 4(m^{2} + 5) = 8m - 16 = 0$，解得$m = 2$，$\therefore$原方程為$x^{2} - 6x + 9 = 0$，解得$x_{1} = x_{2} = 3$，$\because 3 + 3 = 6 ＜ 7$，$\therefore$舍去。若等腰$\triangle ABC$的腰長(zhǎng)為7，把$x = 7$代入方程$x^{2} - 2(m + 1)x + m^{2} + 5 = 0$，得$49 - 14(m + 1) + m^{2} + 5 = 0$，解得$m_{1} = 4$，$m_{2} = 10$，若$m = 4$，則原方程為$x^{2} - 10x + 21 = 0$，解得$x_{1} = 7$，$x_{2} = 3$，$\because 3 + 7 = 10 ＞ 7$，$\therefore$符合題意；若$m = 10$，則原方程為$x^{2} - 22x + 105 = 0$，解得$x_{1} = 7$，$x_{2} = 15$，$\because 7 + 7 = 14 ＜ 15$，$\therefore$舍去。綜上，滿足條件的$\triangle ABC$的周長(zhǎng)為$7 + 7 + 3 = 17$，故選B。
9.已知關(guān)于x的一元二次方程$(a+c)x^{2}+2bx+(c-a)= 0$,其中2a,2b分別為$//ogram ABCD$的對(duì)角線AC,BD的長(zhǎng),c為邊AB的長(zhǎng).
(1)如果方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,試判斷四邊形ABCD的形狀,并說明理由.
(2)如果四邊形ABCD為正方形,試求這個(gè)一元二次方程的根.
答案：解析 (1) 四邊形$ABCD$是菱形。理由如下：
$\because$一元二次方程$(a + c)x^{2} + 2bx + (c - a) = 0$有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，$\therefore (2b)^{2} - 4(a + c)(c - a) = 0$，
化簡(jiǎn)，得$a^{2} + b^{2} = c^{2}$。
$\because 2a$，$2b$分別為$\square ABCD$的對(duì)角線$AC$，$BD$的長(zhǎng)，$c$為邊$AB$的長(zhǎng)，$\therefore \square ABCD$的對(duì)角線$AC$，$BD$互相垂直。
$\therefore$四邊形$ABCD$是菱形。
(2) $\because$四邊形$ABCD$為正方形，$2a$，$2b$分別為$\square ABCD$的對(duì)角線$AC$，$BD$的長(zhǎng)，$c$為邊$AB$的長(zhǎng)，
$\therefore a^{2} + b^{2} = c^{2}$，$a = b = \frac{\sqrt{2}}{2}c$，$c = \sqrt{2}b$。
$\therefore \Delta = (2b)^{2} - 4(a + c)(c - a) = 4(b^{2} + a^{2} - c^{2}) = 0$。
$\therefore x = \frac{-2b}{2(a + c)} = \frac{-b}{b + \sqrt{2}b} = 1 - \sqrt{2}$。
即這個(gè)一元二次方程的根是$x_{1} = x_{2} = 1 - \sqrt{2}$。
