10.「2024 山東濰坊中考,」已知關(guān)于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } - m x - n ^ { 2 } + m n + 1 = 0 $,其中 $ m , n $ 滿足 $ m - 2 n = 3 $,關(guān)于該方程根的情況,下列判斷正確的是(
C
)
A. 無實(shí)數(shù)根
B. 有兩個相等的實(shí)數(shù)根
C. 有兩個不相等的實(shí)數(shù)根
D. 無法確定
答案：C $\because m - 2 n = 3$，$\therefore \Delta = ( - m ) ^ { 2 } - 4 ( - n ^ { 2 } + m n + 1 ) = m ^ { 2 } + 4 n ^ { 2 } - 4 m n - 4 = ( m - 2 n ) ^ { 2 } - 4 = 3 ^ { 2 } - 4 = 9 - 4 = 5 ＞ 0$，$\therefore$一元二次方程$x ^ { 2 } - m x - n ^ { 2 } + m n + 1 = 0$有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.故選 C.
11.「2025 上海徐匯期中,」如果關(guān)于 $ x $ 的方程 $ k ^ { 2 } x ^ { 2 } - ( 2 k + 1 ) x + 1 = 0 $ 有實(shí)數(shù)根,那么 $ k $ 的取值范圍是(
$k \geq - \frac { 1 } { 4 }$
)
A. $ k \geq - \frac { 1 } { 4 } $
B. $ k ＞ - \frac { 1 } { 4 } $ 且 $ k \neq 0 $
C. $ k ＜ - \frac { 1 } { 4 } $
D. $ k \geq - \frac { 1 } { 4 } $ 且 $ k \neq 0 $
答案：A ①當(dāng)$k = 0$時，方程為$- x + 1 = 0$，該方程是一元一次方程，有實(shí)數(shù)根；②當(dāng)$k \neq 0$時，$\Delta = [ - ( 2 k + 1 ) ] ^ { 2 } - 4 k ^ { 2 } \geq 0$，整理得$4 k + 1 \geq 0$，解得$k \geq - \frac { 1 } { 4 }$，故$k$的取值范圍是$k \geq - \frac { 1 } { 4 }$且$k \neq 0$.綜合①②可得，$k$的取值范圍是$k \geq - \frac { 1 } { 4 }$.
12.「2025 遼寧營口期中,」若關(guān)于 $ x $ 的一元二次方程 $ ( k - 1 ) x ^ { 2 } - 2 k x + k - 3 = 0 $ 有實(shí)數(shù)根,則滿足條件的 $ k $ 的最小整數(shù)值為
2
.
答案：答案 2
解析 $\because$關(guān)于$x$的一元二次方程$( k - 1 ) x ^ { 2 } - 2 k x + k - 3 = 0$有實(shí)數(shù)根，$\therefore \left\{ \begin{array} { l } { k - 1 \neq 0, } \\ { \Delta = ( - 2 k ) ^ { 2 } - 4 ( k - 1 ) ( k - 3 ) \geq 0, } \end{array} \right.$解得$k \geq \frac { 3 } { 4 }$且$k \neq 1$，$\therefore$滿足條件的$k$的最小整數(shù)值為 2.
13.「2025 山西晉中左權(quán)月考,」若關(guān)于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } + 4 x + 2 k = 0 $ 有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.
(1) 求 $ k $ 的取值范圍.
(2) 當(dāng) $ k $ 取滿足條件的最大整數(shù)時,求方程的根.
答案：解析 (1)根據(jù)題意，得$\Delta = 4 ^ { 2 } - 4 \times 1 \times 2 k ＞ 0$，$\therefore 16 - 8 k ＞ 0$，$\therefore k ＜ 2$.
(2)$\because k ＜ 2$，$\therefore$滿足條件的最大整數(shù)$k$的值為 1，$\therefore$方程為$x ^ { 2 } + 4 x + 2 = 0$，$\therefore a = 1$，$b = 4$，$c = 2$，$\therefore \Delta = 4 ^ { 2 } - 4 \times 1 \times 2 = 8 ＞ 0$，$\therefore x = \frac { - 4 \pm \sqrt { 8 } } { 2 }$，$\therefore x _ { 1 } = - 2 + \sqrt { 2 }$，$x _ { 2 } = - 2 - \sqrt { 2 }$.
14.「2025 江蘇泰州靖江期中,」已知關(guān)于 $ x $ 的一元二次方程 $ ( n + 2 ) x ^ { 2 } - 4 n x + 4 ( n - 2 ) = 0 ( n \neq - 2 ) $.
(1) 求證:該方程一定有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.
(2) 小明說:“該方程總有一個固定的實(shí)數(shù)根.”請你判斷小明的說法是否正確. 若正確,請求出該實(shí)數(shù)根;若不正確,請說明理由.
答案：解析 (1)證明：$\because \Delta = ( - 4 n ) ^ { 2 } - 4 \times 4 ( n - 2 ) ( n + 2 ) = 16 n ^ { 2 } - 16 n ^ { 2 } + 64 = 64 ＞ 0$，$\therefore$關(guān)于$x$的一元二次方程$( n + 2 ) x ^ { 2 } - 4 n x + 4 ( n - 2 ) = 0$（$n \neq - 2$）一定有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.
(2)小明的說法是正確的.
由求根公式得$x = \frac { 4 n \pm \sqrt { 64 } } { 2 ( n + 2 ) } = \frac { 4 n \pm 8 } { 2 ( n + 2 ) }$，$\therefore x _ { 1 } = 2$，$x _ { 2 } = \frac { 2 n - 4 } { n + 2 }$，$\therefore$該方程總有一個固定的實(shí)數(shù)根，$\therefore$小明的說法是正確的.
15. 已知關(guān)于 $ x $ 的方程 $ a ( x - m ) x = x - m $ 有兩個相等的實(shí)數(shù)根,若 $ M = a ^ { 2 } - 2 a m , N = 4 a m - \frac { 1 } { m ^ { 2 } } $,則 $ M $ 與 $ N $ 的關(guān)系正確的是(
A
)
A. $ M + N = 2 $
B. $ M + N = - 2 $
C. $ 2 M + N = 0 $
D. $ M + N = 0 $
答案：A 方程化為一般形式為$a x ^ { 2 } - ( a m + 1 ) x + m = 0$，根據(jù)題意，得$\Delta = [ - ( a m + 1 ) ] ^ { 2 } - 4 a m = 0$，$\therefore ( a m - 1 ) ^ { 2 } = 0$，$\therefore a m - 1 = 0$，$\because a \neq 0$，$\therefore m = \frac { 1 } { a }$，$\therefore M = a ^ { 2 } - 2 a \cdot \frac { 1 } { a } = a ^ { 2 } - 2$，$N = 4 a \cdot \frac { 1 } { a } - \frac { 1 } { \frac { 1 } { a ^ { 2 } } } = 4 - a ^ { 2 }$，$\therefore M + N = 2$.故選 A.
16. 已知關(guān)于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } - ( k + 2 ) x + k - 1 = 0 $.
(1) 求證:無論 $ k $ 取何值,此方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.
(2) 已知 5 是關(guān)于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } - ( k + 2 ) x + k - 1 = 0 $ 的一個根,且這個方程的兩個根恰好是等腰 $ \triangle A B C $ 的兩條邊長,求 $ \triangle A B C $ 的周長.
$\frac{21}{2}$
答案：解析 (1)證明：$\because a = 1$，$b = - ( k + 2 )$，$c = k - 1$，$\therefore \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c = [ - ( k + 2 ) ] ^ { 2 } - 4 \times 1 \times ( k - 1 ) = k ^ { 2 } + 8 ＞ 0$，$\therefore$無論$k$取何值，該方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.
(2)把$x = 5$代入方程$x ^ { 2 } - ( k + 2 ) x + k - 1 = 0$，得$25 - 5 k - 10 + k - 1 = 0$，解得$k = \frac { 7 } { 2 }$，$\therefore$方程為$x ^ { 2 } - \frac { 11 } { 2 } x + \frac { 5 } { 2 } = 0$，解得$x _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 }$，$x _ { 2 } = 5$.方程的兩個根恰好是等腰$\triangle ABC$的兩條邊長，當(dāng)腰長為$\frac { 1 } { 2 }$時，$\because \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ＜ 5$，$\therefore$不能組成三角形，不合題意.當(dāng)腰長為 5 時，$\because \frac { 1 } { 2 } + 5 ＞ 5$，$\therefore$能組成三角形.$\therefore$這個等腰三角形的三邊長分別為$\frac { 1 } { 2 }$、5、5，$\because \frac { 1 } { 2 } + 5 + 5 = \frac { 21 } { 2 }$，$\therefore \triangle ABC$的周長為$\frac { 21 } { 2 }$.
