10.「2024 內(nèi)蒙古通遼中考,」如圖,圓形拱門(mén)最下端 AB 在地面上,D 為 AB 的中點(diǎn),C 為拱門(mén)最高點(diǎn),線段 CD 經(jīng)過(guò)拱門(mén)所在圓的圓心,若$AB= 1m,CD= 2.5m$,則拱門(mén)所在圓的半徑為( )
A.1.25 m
B.1.3 m
C.1.4 m
D.1.45 m
答案：10.B如圖,連接OA,∵D為AB的中點(diǎn),C為拱門(mén)最高點(diǎn)，線段CD經(jīng)過(guò)拱門(mén)所在圓的圓心,AB=1m，∴CD⊥AB,AD=BD=0.5m,設(shè)拱門(mén)所在圓的半徑為rm,∴OA=OC=rm,∵CD=2.5m,∴OD=(2.5 - r)m,在Rt△AOD中,$OA^{2}=AD^{2}+OD^{2}$，∴$r^{2}=0.5^{2}+(2.5 - r)^{2}$，解得r=1.3,∴拱門(mén)所在圓的半徑為1.3m.故選B.
11.「2025 重慶巴南月考,」如圖,AB 是$\odot O$的弦,點(diǎn)D 是弦 AB 的中點(diǎn),OD 的延長(zhǎng)線與$\odot O$交于點(diǎn) C,AE 是直徑,連接 BE,DE,$∠ABE= 90^{\circ }$.若$DE= 3OD= 3$,則半徑 OC 的長(zhǎng)為(
C
)
A.2
B.$\sqrt {5}$
C.$\sqrt {6}$
D.$\frac {5}{2}$
答案：11.C ∵點(diǎn)D是弦AB的中點(diǎn)，OC是⊙O的半徑，∴AD=DB=$\frac{1}{2}$AB,OD⊥AB,∴OD是△ABE的中位線,∴OD=$\frac{1}{2}$BE,∵DE=3OD=3,∴OD=1,∴BE=2,∵∠ABE = $90^{\circ}$,∴在Rt△DBE中,DB=$\sqrt{DE^{2}-BE^{2}}=\sqrt{3^{2}-2^{2}}=\sqrt{5}$,∴AD=DB=$\sqrt{5}$,∴OA=$\sqrt{AD^{2}+OD^{2}}=\sqrt{(\sqrt{5})^{2}+1^{2}}=\sqrt{6}$,∴OC=$\sqrt{6}$.故選C.
12.「2025 河南許昌期中,」如圖,在半圓 ACB 中,$AB= 6$,將半圓 ACB 沿弦 BC 所在直線折疊,若弧 BC 恰好過(guò)圓心 O,則 BC 的長(zhǎng)是( )
A.$3\sqrt {3}$
B.2π
C.$3\sqrt {2}$
D.$2\sqrt {6}$
答案：12.A如圖,過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC,由折疊的性質(zhì)可知OD=$\frac{1}{2}$OB,∴OD=$\frac{1}{4}$AB=$\frac{3}{2}$,在Rt△OBD中，∵OD=$\frac{1}{2}$OB,∴∠OBD = $30^{\circ}$,∴BD=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,∵OD⊥BC,OD經(jīng)過(guò)圓心，∴BC=2BD=$3\sqrt{3}$.故選A.
13.「2024 河北石家莊橋西期中,」如圖,$\odot O$的半徑是 6,AB 是$\odot O$的弦,C 是 AB 上一點(diǎn),$AC= 6$,$BC= 2$,點(diǎn) P 是$\odot O$上一動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn) P 與點(diǎn) C 之間的最大距離是( )
A.$6+2\sqrt {6}$
B.12
C.$6+2\sqrt {5}$
D.13
答案：13.A 如圖,過(guò)O點(diǎn)作OH⊥AB于點(diǎn)H,連接OA,OP,OC,PC,則AH=BH,∵AC=6,BC=2,∴AB=8,∴AH=BH=4,∴CH=4 - 2=2,在Rt△OAH中,OH=$\sqrt{OA^{2}-AH^{2}}=\sqrt{6^{2}-4^{2}} = 2\sqrt{5}$，在Rt△OCH中,OC=$\sqrt{(2\sqrt{5})^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{6}$，∵PC ≤ OP + OC（當(dāng)且僅當(dāng)P，O，C共線時(shí)取等號(hào)），∴點(diǎn)P與點(diǎn)C之間的最大距離為$6 + 2\sqrt{6}$.故選A.
14.學(xué)科綜合與特色實(shí)踐「」小明在學(xué)習(xí)圓的相關(guān)知識(shí)時(shí),看到書(shū)本上提到可以用一把丁字尺(如圖 1)來(lái)找圓心,他想到爸爸的工具箱里有丁字尺,于是想利用丁字尺還原一個(gè)破損的圓,已知尺頭$AB= 4cm$,尺身刻度線 l 垂直平分 AB,他擺出的情況如圖 2,發(fā)現(xiàn)兩次測(cè)量丁字尺的尺身刻度線交于刻度為 6 cm 的位置,則這個(gè)破損的圓的直徑是____cm.
答案：答案 $4\sqrt{10}$
解析 如圖，設(shè)兩次測(cè)量丁字尺的尺身刻度線的交點(diǎn)為O,則O為圓心,連接OA,設(shè)l與AB交于點(diǎn)C,∵尺身刻度線l垂直平分AB,∴AC=$\frac{1}{2}$AB=2cm,∵在Rt△AOC中，$OA^{2}=AC^{2}+OC^{2}$，∴OA=$\sqrt{AC^{2}+OC^{2}}=\sqrt{2^{2}+6^{2}} = 2\sqrt{10}$(cm),∴這個(gè)破損的圓的直徑是$4\sqrt{10}$cm.
15.「2025 江蘇南京鼓樓期中,」如圖,$\odot O$的半徑為5,$OP= 1$,若將$\odot O$沿某條弦所在的直線翻折,翻折后的弧恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn) P,則這條弦的長(zhǎng)度 a 的取值范圍是____.
答案：答案 $8\leqslant a\leqslant 2\sqrt{21}$
解析 如圖，作OP所在的直徑CD,設(shè)PC的中點(diǎn)為M,PD的中點(diǎn)為N,作線段PC,PD的垂直平分線分別與⊙O交于A、B,E、F,沿弦AB,EF所在直線將⊙O翻折，則翻折后的弧恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,連接OA,OE.根據(jù)垂徑定理得AB=2AM,EF=2EN,∵⊙O的半徑為5,OP=1,∴PC=4,PD=6,∴PM=CM=$\frac{1}{2}$PC=2,PN=DN=$\frac{1}{2}$PD=3,∴OM=OP + PM=3,ON=PN - OP=2,在Rt△OAM中,由勾股定理得AM=$\sqrt{OA^{2}-OM^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$,∴AB=2AM=8,即a=8.在Rt△OEN中,由勾股定理得EN=$\sqrt{OE^{2}-ON^{2}}=\sqrt{5^{2}-2^{2}}=\sqrt{21}$,∴EF=2EN=$2\sqrt{21}$,即a=$2\sqrt{21}$,∴這條弦的長(zhǎng)度a的取值范圍是$8\leqslant a\leqslant 2\sqrt{21}$.
16.新課標(biāo)推理能力「2025 浙江寧波慈溪期中」如圖,有兩個(gè)半徑分別為$\sqrt {5}和2\sqrt {5}$的同心圓,矩形 ABCD 的邊AB,CD 分別為兩圓的弦,那么矩形 ABCD 的面積最大時(shí),AB 的長(zhǎng)為_(kāi)___.
答案：答案 4
解析 如圖,過(guò)O作OM⊥AD于M,ON⊥AB于N,連接OA,OD,∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD = $90^{\circ}$,又OM⊥AD,ON⊥AB,∴四邊形OMAN是矩形，∴OM=AN,∵ON⊥AB,∴AB=2AN=2OM,∴OM=AN=$\frac{1}{2}$AB,∴$S_{\triangle OAD}=\frac{1}{2}AD\cdot OM=\frac{1}{4}AD\cdot AB$,∵$S_{矩形ABCD}=AD\cdot AB$,∴$S_{矩形ABCD}=4S_{\triangle OAD}$,∴當(dāng)△OAD的面積最大時(shí)，矩形ABCD的面積最大，易知當(dāng)OA⊥OD時(shí)，△OAD的面積最大,此時(shí)AD=$\sqrt{OA^{2}+OD^{2}} = 5$,當(dāng)OA⊥OD時(shí),$S_{\triangle OAD}=\frac{1}{2}AD\cdot OM=\frac{1}{2}AO\cdot OD$,∴5OM=$\sqrt{5}\times2\sqrt{5}$,∴OM=2,∴AB=2OM=4,∴矩形ABCD的面積最大時(shí)，AB的長(zhǎng)為4.
