1.「2025山西晉中左權(quán)月考」在一幅長80cm,寬50cm的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條金色紙邊,制成一幅矩形掛圖,如圖所示,如果要使整個掛圖的面積是$5400cm^2,$設(shè)金色紙邊的寬為xcm,那么x滿足的方程是(
C
)
A. (80+x)(50+x)= 5400
B. (80-2x)(50-2x)= 5400
C. (80+2x)(50+2x)= 5400
D. (80-x)(50-x)= 5400
答案：C 整個掛圖是矩形，長為$(80 + 2x)\text{cm}$，寬為$(50 + 2x)\text{cm}$，∵整個掛圖面積是$5400\text{cm}^2$，∴可列方程為$(80 + 2x)(50 + 2x) = 5400$。故選C。
2.「2025湖北宜昌伍家崗期中」如圖,某小區(qū)規(guī)劃在一個長為24m、寬為10m的矩形場地ABCD上修建三條同樣寬的小路,使其中兩條與AB平行,另一條與AD平行,其余部分種草。若草坪部分的總面積為$126m^2,$則小路的寬度為______
3
m。
答案：答案 3
解析 設(shè)小路的寬度為$x\text{m}$，由平移知識易知草坪部分可看成一個長為$(24 - 2x)\text{m}$，寬為$(10 - x)\text{m}$的矩形，依題意得$(24 - 2x)(10 - x) = 126$，解得$x_1 = 3$，$x_2 = 19$，當(dāng)$x = 19$時，$10 - x = -9 ＜ 0$，不合題意，舍去，∴$x = 3$。
3.跨物理運動「2025廣東深圳龍華月考」以初速度v?豎直上拋的物體的高度h和時間t滿足關(guān)系式h= v?t - $\frac{1}{2}gt^{2}$(g為重力加速度,g≈10m/s^2),一個小石子在地面以初速度v?= 25m/s被向上拋出,則小石子離地20米的時間是(
B
)
A. 1s
B. 1s或4s
C. 4s
D. 不能確定
答案：B 已知以初速度$v_0$豎直上拋的物體的高度$h$和時間$t$滿足關(guān)系式$h = v_0t - \frac{1}{2}gt^2$（$g$為重力加速度，$g \approx 10\text{m/s}^2$），將$h = 20\text{m}$，$v_0 = 25\text{m/s}$，$g \approx 10\text{m/s}^2$代入得$20 = 25t - \frac{1}{2}×10t^2$，解得$t_1 = 1$，$t_2 = 4$，∴經(jīng)過$1\text{s}$或$4\text{s}$時，小石子離地$20\text{m}$。故選B。
4.「2025廣東清遠英德期中」如圖,在△ABC中,∠ABC= 90°,AB= 8cm,BC= 7cm,動點P,Q分別從點A,B同時開始移動(移動方向如圖所示),點P的速度為1cm/s,點Q的速度為2cm/s,點Q移動到C點后停止,點P也隨之停止運動,當(dāng)四邊形APQC的面積為$13cm^2$時,點P運動的時間是(
3s
)
A. 3s
B. 5s
C. 3s或5s
D. 6s
答案：A $8 ÷ 1 = 8(\text{s})$，$7 ÷ 2 = \frac{7}{2}(\text{s})$。設(shè)運動時間為$t\text{s}(0 ＜ t \leq \frac{7}{2})$，則$AP = t\text{cm}$，$BQ = 2t\text{cm}$，∴$BP = AB - AP = (8 - t)\text{cm}$，根據(jù)題意，得$\frac{1}{2}×8×7 - \frac{1}{2}(8 - t)×2t = 13$，整理，得$t^2 - 8t + 15 = 0$，解得$t_1 = 3$，$t_2 = 5$（不符合題意，舍去），∴點$P$運動的時間是$3\text{s}$。故選A。
5.「2025廣東深圳福田期中,★☆」如圖,在矩形ABCD中,AB= 8cm,AD= 3cm,動點P,Q同時出發(fā),點P從A點出發(fā)以2cm/s的速度向點B移動,一直到達點B為止,點Q從點C出發(fā)以1cm/s的速度向點D移動。請問當(dāng)點P和點Q的距離是5cm時,P,Q兩點出發(fā)了( )
A. 4s
B. $\frac{4}{3}$s或4s
C. $\frac{8}{3}$s或8s
D. $\frac{8}{3}$s
答案：B $8 ÷ 2 = 4(\text{s})$，過點$Q$作$QE \perp AB$于點$E$，則四邊形$BCQE$是矩形，如圖所示。設(shè)運動時間為$t\text{s}(0 ＜ t \leq 4)$，則$AP = 2t\text{cm}$，$CQ = BE = t\text{cm}$，∴$PE = |AB - AP - BE| = |8 - 2t - t| = |8 - 3t|\text{cm}$。根據(jù)題意，得$PE^2 + EQ^2 = PQ^2$，即$(8 - 3t)^2 + 3^2 = 5^2$，整理，得$3t^2 - 16t + 16 = 0$，解得$t_1 = \frac{4}{3}$，$t_2 = 4$，∴當(dāng)點$P$和點$Q$的距離是$5\text{cm}$時，$P$，$Q$兩點出發(fā)了$\frac{4}{3}\text{s}$或$4\text{s}$。故選B。
6.「2025河南平頂山月考,★☆」某社區(qū)為了解決停車難的問題,利用一塊矩形空地ABCD建了一個小型停車場,其布局如圖所示。已知AD= 58m,AB= 22m,陰影部分設(shè)計為停車位,其余部分均為寬度為x米的道路。已知停車位的面積(即陰影部分的面積)為$700m^2。$
(1)求道路的寬。
答：道路的寬是
4
米。
(2)該停車場共有車位70個,據(jù)調(diào)查分析,當(dāng)每個車位的月租金為300元時,可全部租出,每個車位的月租金每上漲5元,就會少租出1個車位。當(dāng)每個車位的月租金上漲多少元時,停車場的月租金收入為21120元,同時盡可能讓利于居民?
答：每個車位的月租金上漲
20
元時，停車場的月租金收入為21120元。
答案：解析 (1) 道路的寬為$x$米，
由停車位的面積（即陰影部分的面積）為$700\text{m}^2$得，$(58 - 2x)(22 - 2x) = 700$，整理，得$x^2 - 40x + 144 = 0$，
解得$x_1 = 36$（不合題意，舍去），$x_2 = 4$。
答：道路的寬是$4$米。
(2) 設(shè)每個車位的月租金上漲$y$元，
根據(jù)題意，得$(300 + y)(70 - \frac{y}{5}) = 21120$，
整理，得$y^2 - 50y + 600 = 0$，解得$y_1 = 20$，$y_2 = 30$，
∵盡可能讓利于居民，∴$y = 20$。
答：每個車位的月租金上漲$20$元時，停車場的月租金收入為$21120$元。
