1.「2025山東棗莊滕州月考」有一個(gè)人患流感,經(jīng)過兩輪傳染后共有64個(gè)人患流感.設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染x個(gè)人,則第三輪傳染后共有______個(gè)人患流感.(
D
)
A.7
B.8
C.448
D.512
答案：D ∵ 每輪傳染中平均一個(gè)人傳染 $ x $ 個(gè)人，∴ 第一輪傳染中有 $ x $ 個(gè)人被傳染，第二輪傳染中有 $ x(1 + x) $ 個(gè)人被傳染，根據(jù)題意，得 $ 1 + x + x(1 + x) = 64 $，解得 $ x_1 = 7 $，$ x_2 = -9 $（不符合題意，舍去），∴ 每輪傳染中平均一個(gè)人傳染 7 個(gè)人，∴ 經(jīng)過三輪傳染后患流感的人數(shù)為 $ 64 + 64×7 = 512 $。故選 D。
2.「2024江蘇鹽城建湖期中」某?！把袑W(xué)”活動(dòng)小組在一次綜合實(shí)踐時(shí),發(fā)現(xiàn)一種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干,每個(gè)支干又長(zhǎng)出相同數(shù)目的小分支,主干、支干和小分支的總數(shù)是57,則這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支個(gè)數(shù)是______
7
。
答案：答案 7
解析 設(shè)這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出 $ x $ 個(gè)小分支，根據(jù)題意，得 $ 1 + x + x^2 = 57 $，整理得 $ x^2 + x - 56 = 0 $，解得 $ x_1 = -8 $（不合題意，舍去），$ x_2 = 7 $，∴ 這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支個(gè)數(shù)是 7。
3.跨化學(xué)制取氧氣 化學(xué)課代表在老師的教導(dǎo)下學(xué)會(huì)了“實(shí)驗(yàn)室用高錳酸鉀制取氧氣”的實(shí)驗(yàn)操作,回到班上后第一節(jié)課手把手教會(huì)了若干名同學(xué),第二節(jié)課會(huì)做該實(shí)驗(yàn)的每名同學(xué)又手把手教會(huì)了同樣多的同學(xué),這樣全班49人恰好都會(huì)做這個(gè)實(shí)驗(yàn)了,那么課代表第一節(jié)課手把手教會(huì)了______名同學(xué).
答案：答案 6
解析 設(shè)課代表第一節(jié)課手把手教會(huì)了 $ x $ 名同學(xué)，由題意，得 $ 1 + x + (x + 1)x = 49 $，解得 $ x_1 = 6 $，$ x_2 = -8 $（不合題意，舍去），∴ 課代表第一節(jié)課手把手教會(huì)了 6 名同學(xué)。
4.「2025河南漯河源匯月考」一次會(huì)議上,每?jī)蓚€(gè)參加會(huì)議的人都相互握了一次手,經(jīng)統(tǒng)計(jì)所有人一共握了66次手,則這次會(huì)議到會(huì)的人數(shù)是(
12
)
A.11
B.12
C.22
D.33
答案：B 設(shè)參加會(huì)議的有 $ x $ 人，根據(jù)題意，得 $ \frac{1}{2}x(x - 1) = 66 $，整理，得 $ x^2 - x - 132 = 0 $，解得 $ x_1 = 12 $，$ x_2 = -11 $（舍去），則參加這次會(huì)議的有 12 人。故選 B。
5.「2025福建福州晉安月考」某校組織一次籃球賽,各班均組隊(duì)參賽,賽制為單循環(huán)形式(每?jī)砂嘀g都賽一場(chǎng)),共需安排15場(chǎng)比賽,則班級(jí)的個(gè)數(shù)為(
C
)
A.4
B.5
C.6
D.7
答案：C 設(shè)有 $ x $ 個(gè)班級(jí)參加比賽，由題意得 $ \frac{1}{2}x(x - 1) = 15 $，整理得 $ x^2 - x - 30 = 0 $，解得 $ x_1 = 6 $，$ x_2 = -5 $（舍），所以班級(jí)的個(gè)數(shù)為 6。故選 C。
6.「2024湖北黃岡蘄春期中」張小武同學(xué)建立了一個(gè)名為“正能量”的微信群.這個(gè)微信群里有若干個(gè)好友,每個(gè)好友都分別給群里其他好友發(fā)送了一條充滿正能量的消息,共有870條消息,則這個(gè)微信群里共有
30
個(gè)好友.
答案：答案 30
解析 設(shè)這個(gè)微信群里共有 $ x $ 個(gè)好友，根據(jù)題意，得 $ x(x - 1) = 870 $，整理，得 $ x^2 - x - 870 = 0 $，即 $ (x - 30)(x + 29) = 0 $，解得 $ x_1 = 30 $，$ x_2 = -29 $（舍去），即這個(gè)微信群里共有 30 個(gè)好友。
7.「2025河南鄭州中牟月考,★☆」在一次聚會(huì)上,規(guī)定每?jī)蓚€(gè)人見面必須握手,且握手1次.
(1)若參加聚會(huì)的人數(shù)為3,則共握手
3
次；若參加聚會(huì)的人數(shù)為5,則共握手
10
次；若參加聚會(huì)的人數(shù)為n(n≥2,且n為正整數(shù)),則共握手
$\frac{1}{2}n(n - 1)$
次.
(2)若參加聚會(huì)的人共握手28次,請(qǐng)求出參加聚會(huì)的人數(shù).
(3)嘉嘉由握手問題想到了一個(gè)數(shù)學(xué)問題：若線段AB上共有m個(gè)點(diǎn)(不含端點(diǎn)A,B),則線段總數(shù)為多少呢？請(qǐng)直接寫出結(jié)論.
$\frac{1}{2}(m + 2)(m + 1)$
答案：解析 (1) $ 3 $；$ 10 $；$ \frac{1}{2}n(n - 1) $。
(2) 設(shè)參加聚會(huì)的人數(shù)為 $ x $。
由題意得 $ \frac{1}{2}x(x - 1) = 28 $，整理得 $ x^2 - x - 56 = 0 $，
解得 $ x_1 = 8 $，$ x_2 = -7 $（不合題意，舍去）。
答：參加聚會(huì)的人數(shù)為 8。
(3) ∵ 線段 $ AB $ 上共有 $ m $ 個(gè)點(diǎn)（不含端點(diǎn) $ A $，$ B $），
∴ 可看成共有 $ (m + 2) $ 個(gè)人握手，
∴ 線段總數(shù)為 $ \frac{1}{2}(m + 2)(m + 1) $。
