(1) $2 + 3 = 5$，$2\sqrt{2 × 3} = 2\sqrt{6} \approx 4.899$，所以$2 + 3 ＞ 2\sqrt{2 × 3}$。
令$a = x$，$b = \frac{1}{x}$，由$a + b \geq 2\sqrt{ab}$，得$x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2$，
當(dāng)且僅當(dāng)$x = \frac{1}{x}$，即$x = 1$時(shí)，式子有最小值，最小值為$2$。
故答案為：$＞$；$2$。
(2) 設(shè)長(zhǎng)方形花園的寬為$x$米，長(zhǎng)為$y$米。
由已知$xy = 32$，$y \leq 20$，籬笆長(zhǎng)$L = 2x + y$。
由$xy = 32$，得$y = \frac{32}{x}$，則$L = 2x + \frac{32}{x}$。
令$a = 2x$，$b = \frac{32}{x}$，由$a + b \geq 2\sqrt{ab}$，得$2x + \frac{32}{x} \geq 2\sqrt{2x \cdot \frac{32}{x}} = 16$，
當(dāng)且僅當(dāng)$2x = \frac{32}{x}$，即$x = 4$時(shí)，$L$有最小值$16$，此時(shí)$y = 8$。
所以，當(dāng)長(zhǎng)方形花園的長(zhǎng)為$8$米，寬為$4$米時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是$16$米。
(3) 設(shè)$\triangle AOD$的面積為$x$，$\triangle BOC$的面積為$y$。
由$\triangle AOB$與$\triangle AOD$同高，面積比等于底邊比，得$\frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle AOD}} = \frac{BO}{OD}$，即$\frac{8}{x} = \frac{BO}{OD}$。
同理，$\frac{S_{\triangle BOC}}{S_{\triangle COD}} = \frac{BO}{OD}$，即$\frac{y}{14} = \frac{BO}{OD}$。
所以$\frac{8}{x} = \frac{y}{14}$，即$xy = 112$。
四邊形$ABCD$的面積$S = 8 + 14 + x + y = 22 + x + y$。
令$a = x$，$b = y$，由$a + b \geq 2\sqrt{ab}$，得$x + y \geq 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{112} = 8\sqrt{7}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$x = y$時(shí)取等號(hào)。
所以$S = 22 + x + y \geq 22 + 8\sqrt{7}$，當(dāng)且僅當(dāng)$x = y = 4\sqrt{7}$時(shí)，$S$有最小值$22 + 8\sqrt{7}$。
故四邊形$ABCD$面積的最小值為$22 + 8\sqrt{7}$。
