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第50頁

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按照《數(shù)學實驗手冊》“實驗16 畫‘螺旋圖’——構造長度為無理數(shù)的線段”中的實驗過程1和2，先準備好直尺、圓規(guī)和坐標紙，在坐標紙上確定原點O，以O為起點，沿水平方向向右畫一條長度為1的線段OA?，即OA?=1；然后過點A?作OA?的垂線，在垂線上截取A?A?=1，連接OA?，根據(jù)勾股定理可得OA?=$\sqrt{(OA?2+A?A?2)}$=$\sqrt{(12+12)}$=$\sqrt2$；接著過點A?作OA?的垂線，在垂線上截取A?A?=1，連接OA?，OA?=$\sqrt{(OA?2+A?A?2)}$=$\sqrt{((\sqrt2)2+12)}=\sqrt3$；以此類推，完成后續(xù)的實驗步驟，構造出長度為無理數(shù)的線段。（具體做法需結合手冊詳細步驟，此處為通用操作描述）
$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},\cdots$是正無理數(shù)；特點是它們都是按照“螺旋圖”構造方法得到的線段長度，且隨著序號增大，其值不斷增大，都是無限不循環(huán)小數(shù)。
半徑為$1$的圓的面積$S = \pi×1^{2}=\pi；$周長$C = 2\pi×1 = 2\pi。$
無理數(shù)，也稱為無限不循環(huán)小數(shù)。若將它寫成小數(shù)形式，小數(shù)點之后的數(shù)字有無限多個，并且不會循環(huán)。
因為$1^2 = 1，$$2^2 = 4，$所以$1 ＜ \sqrt{3} ＜ 2；$$1.7^2 = 2.89，$$1.8^2 = 3.24，$所以$1.7 ＜ \sqrt{3} ＜ 1.8；$$1.73^2 = 2.9929，$$1.74^2 = 3.0276，$所以$1.73 ＜ \sqrt{3} ＜ 1.74；$$1.732^2 = 2.999824，$$1.733^2 = 3.003289，$所以$\sqrt{3} \approx 1.732$（保留三位小數(shù)）。
$2^2 = 4$，$3^2 = 9$，$\sqrt{3}$中$3 ＜ 4$，則$\sqrt{3} ＜ 2$；$\sqrt{6}$中$4 ＜ 6 ＜ 9$，則$2 ＜ \sqrt{6} ＜ 3$；
$\sqrt{11}$中$11 ＞ 9$，則$\sqrt{11} ＞ 3$，故答案為$\sqrt{6}$。
$\pi$是無理數(shù)，$1$是有理數(shù)，無理數(shù)與有理數(shù)的和是無理數(shù)，所以$\pi + 1$是無理數(shù)；$\sqrt{3}$是無理數(shù)，$2$是有理數(shù)，有理數(shù)與無理數(shù)的積是無理數(shù)，所以$2\sqrt{3}$是無理數(shù)。
【答案】：
1.
(2) $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},\cdots$是正無理數(shù)；特點是它們都是按照“螺旋圖”構造方法得到的線段長度，且隨著序號增大，其值不斷增大，都是無限不循環(huán)小數(shù)。
2. 半徑為$1$的圓的面積$S = \pi×1^{2}=\pi$；周長$C = 2\pi×1 = 2\pi$。
3. 無理數(shù)，也稱為無限不循環(huán)小數(shù)。若將它寫成小數(shù)形式，小數(shù)點之后的數(shù)字有無限多個，并且不會循環(huán)。

【解析】：
1.
(1)略
(2)數(shù)$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},…$是無理數(shù)，它們都是無限不循環(huán)小數(shù)
2. 面積是$\pi×1^{2}=\pi$，周長是$2×\pi×1=2\pi$
3. 無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)
1. 因為$1^2 = 1$，$2^2 = 4$，所以$1 ＜ \sqrt{3} ＜ 2$；$1.7^2 = 2.89$，$1.8^2 = 3.24$，所以$1.7 ＜ \sqrt{3} ＜ 1.8$；$1.73^2 = 2.9929$，$1.74^2 = 3.0276$，所以$1.73 ＜ \sqrt{3} ＜ 1.74$；$1.732^2 = 2.999824$，$1.733^2 = 3.003289$，所以$\sqrt{3} \approx 1.732$（保留三位小數(shù)）。
2. $2^2 = 4$，$3^2 = 9$，$\sqrt{3}$中$3 ＜ 4$，則$\sqrt{3} ＜ 2$；$\sqrt{6}$中$4 ＜ 6 ＜ 9$，則$2 ＜ \sqrt{6} ＜ 3$；$\sqrt{11}$中$11 ＞ 9$，則$\sqrt{11} ＞ 3$，故答案為$\sqrt{6}$。
3. $\pi$是無理數(shù)，$1$是有理數(shù)，無理數(shù)與有理數(shù)的和是無理數(shù)，所以$\pi + 1$是無理數(shù)；$\sqrt{3}$是無理數(shù)，$2$是有理數(shù)，有理數(shù)與無理數(shù)的積是無理數(shù)，所以$2\sqrt{3}$是無理數(shù)。
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